自动化学报
ACTA AUTOMATICA SINICA
1997年　第23卷　第6期　Vol.23　No.6　1997




广义可镇定连续时延系统的通用
连续线性控制器设计
M de la Sen　罗宁苏
　　摘　要　讨论确保闭环线性时延系统在Lyapunov意义下全局一致稳定的通用线性控制器的设计问题.文中给出的通用镇定控制器适用于有限、无限和时变的点型、分布型及混合型等各类时延系统.
　　关键词　时延系统，点型时延，分布型时延，稳定性，镇定控制器.
ON THE DESIGH OF UNIVERSAL STABILIZING CONTINUOUS
LINEAR CONTROLLERS WITH DELAYS FOR GENERALIZED
DELAYED CONTINUOUS STABILIZABLE SYSTEMS
M dE lA SEN　　LUO NINGSU 
(Dpto. Electricidady Electrónica, Universidad del País Vasco, 48940 Leioa, Bizkaia, SPAIN)
Abstract　This paper deals with the design problem of generalized linear stabilizing controllers for linear systems with after-effect so that the resulting closed-loop system is globally uniformly asymptotically stable in the Lyapunov's sense.The stabilizing controllers are universal in the sense that they include the usual delays (namely, point, distributed and mixed point-distributed delays) which can be finite, infinite or even time-varying.
Key words　Delay systems, point delays, distributed delays, Lyapunov's stability, stabilizing controllers.
1　引言
　　微分差分方程广泛应用于时延微分系统(含滞后效应的系统［1］)的建模.通过对常微分方程的标准Picard-Lind?loff和Cauchy-Peano定理［2，3］的推广，可解决该类系统唯一解的存在性问题［1］.文献［4］分析了开环微分系统的Lyapunov稳定性和周期解的轨道稳定性.文献［3－5］指出时延系统的可控可观性概念间的相关等价性与无时延系统相比，并非十分直接.对于同量时延系统的设计问题，文献［5］证明：若系统谱可控，则存在一个含时延的反馈矩阵使得单输入闭环系统亦可控.近年来，许多学者研究了时延系统的镇定性和稳定性问题［1，6－13］.通常采用以下两类稳定性测试方法：基于单/多变量时延系统的特征多项式的根配置［5］，或将时延系统视为环上的1-D模型.对于同量或非同量时延系统，文献［6］采用n-D(n≥2)模型进行稳定性测试.本文将研究点型、分布型、混合型等各类含状态和输入时延系统的镇定性问题.提出了一类新颖的含上述同类型时延的通用控制器.在以下章节中，用SP，SD，SED和SVD简记点型、分布型、指数分布型和无限Volterra分布型的时延系统.
2　时延系统
2.1　点型时延系统
(SP):(t)=A(t)x(t)+A0(t)x(t-h)+B(t)u(t)+B0(t)u(t-h′), t≥0,　　　　　(1)
其中x(t)∈Rn为轨迹值；u(t)∈Rm(m≤n)为控制矢量；xt(θ)=x(t+θ); ut(θ′)=u(t+θ′); θ∈［-h,0),θ′∈［-h′0);正参数h,h′分别表示系统的内、外时延；A( . )，A0( . )为(n×m)矩阵函数；B( . )，B0( . )为含实元的(n×m)矩阵函数；初始轨迹x(θ)=x0(θ);θ∈［-h,0)为连续或绝对连续有界函数.
2.2　分布型时延系统
(SD):(t)=A(t)x(t)+xt+B(t)u(t)+ut, t≥0,　　　　　　　　　(2)
其中x( . )，u( . )，A( . )，B( . )，x0( . )的定义同SP系统；算子和定义为=,,α( . )，β( . )为BV(［-σ,0);Rn×n),BV(［-σ′,0);Rn×m)上的矩阵(或标量)有限测度，BV为一类有界变分且局部可积的矩阵测度.
3　初始结果
　　将SD(s),SED(s)系统简化为SP(s)系统，可得时不变SD(s),SED(s)系统的等价描述.
引理1.
　　(i)对于SED系统有
　(3)
其中u(t)=0;t＜0,x0(t)=(t);∈AC(［-h,0］;Rn);t∈［-h,0］.采用广义SP系统可将(3)式等价描述为
　　　　　　　(4)
其中(t)=［xT(t)xT1(t)uT1(t)］T;0(t)=［T(t)OTOT］T; t∈［-h,0］,x1( . )∈Rn,u1( . )∈Rm;=［BTOTIm］T;
　　　　　　(5)
对于自由运动系统，可用扩展状态矢量=［xT…xT1］T∈R2n进行描述，其中在区间［-h,0］上x0(t)=［T(t)…OT］T;
　　　　　　　(6)
　　(ii)若把方程(3)右侧的两积分项变为及,则当σ=h,σ′=h′时命题(i)仍成立.
　　一般的有限时延系统可含点型和分布型内、外时延
(SPD):(t)=A(t)x(t)+A0(t)x(t-h)+xt+B(t)u(t)+B0(t)u(t-h′)+ut, t≥0,　　(7)
若→t,→t,则时延与时间相关.
4　变时延SPVD系统
　　变时延SPVD系统是一类含时变点型和Volterra卷积型时延的时变系统
　
　　　(8)
其中u(t)=0, t＜0; x( . ), u( . ), y( . )分别为n,m,p维矢量.作者在本文中提出了下列动态控制器：
　　　(9a)
　　　(9b)
(9c)
up(t)=Cp(t)zp(t)+Dp(t)ur(t), uf(t)=Cf(t)zf(t)+Df(t)y(t),　　　　　　(9d)
u(t)=uc(t)=Cc(t)zc(t)+Dc(t)［up(t)-uf(t)］.　　　　　　　　(9e)
其中hf( . ),h′f( . ),hp( . ),h′p( . ),hc( . ),h′c( . )代表时延；zf( . )，zp( . ),zc( . )代表反馈控制器、预补偿器和前馈控制器的状态矢量，其维数分别为lf,lp,lc,lf,lp,lc,相应的初值区间分别为［-hf(0),0］,［-hp(0),0］,［-hc(0),0］;uf( . ),up( . ),uc( . )分别为mf=mp,mc=m维的动态补偿器(9)的输出；ur为mq维的参考信号.动态控制律(9)可写为以下紧凑的形式
u(t)=［I+Dc(t)Df(t)D(t)］-1{Cc(t)zc(t)+Dc(t)［Cp(t)zp(t)　　　　　　
-Cf(t)zf(t)-Df(t)C(t)x(t)+Dp(t)ur(t)］} , 　　　　　　　　(10)
　　　(11)
其中z(t)=［zTpzTczTf］T,且假设以上方程右侧中的逆矩阵存在
(12a)
　　　　　　(12b)
F1(t)=Diag［A0p(t)OO］,F2(t)=Diag［OA0c(t)O］,F3(t)=Diag［OOA0f(t)］;(12c)
F5(t)=Diag［OTOTETf(t)］,F7(t)=［ET(t)OTOT］T,F8(t)=［OTDTp(t)ETc(t)OT］T;(12d)
F9(t)=［OT-DTf(t)ETc(t)OT］T, F10(t)=［E′p(t-τ)DTp(τ)ETc(t-τ)OT］T;　(12e)
F11(t)=［OT-DTf(t)MTc(t)MTf(t)］T, F12(t)=［MTp(t)DTp(t)MTp(t)OT］T; 　　(12f)
F13(t-τ)=［OTDTf(τ)ETc(t-τ)E′f(t-τ)］T .　　　　　　(12g)
在考虑有限区间积分的情形下，可对有限分布型时延采用类似于方程(8)的方式进行处理.完整的闭环系统如图1所示.

图1　闭环控制系统
5　扩展SPVD系统的调节稳定性——主要结果
　　假设矩阵函数H(t),K(t)在［0,∞］上连续可微，并记=:［xTzT］T,=:［uTT］T,=:［yT…zT］T分别为扩散系统的状态、控制和输出，可用以下扩展系统对SPVD系统和相应的控制器方程(8)-(12)进行描述.
　　(13a)
(13b)
　　(14a)
　　(14b)
　(14c)
　　(14d)
　(14e)
　　定理1.　若扩展闭环SPVD系统(13)，(14)满足以下假设：
　　1)且(t)→0，t→∞.其中;为一矩阵函数，其矩阵元满足L1(［0,∞);R),即成立，,1为常值对称正定矩阵；
　　2)通过选择扩展系统和控制器增益，使和为常值矩阵；
　　3)及I+Dc(t)Df(t)D(t)为非奇异矩阵；
　　4)系统和控制器中的时延为时间导数已知的时间函数，则可知自由闭环系统(即在［0，∞)上ur≡0)的零解为全局渐近稳定，当且仅当下述Lyapunov方程对一充分大的q∈R+和满足假设(1)-(3)的常值矩阵
　(15)
存在解矩阵=T＞0，其中i(t)=:i(t)(i=1,2,…，5)，0(t)=:0(t),6(t)=(t)(t-h′(t))；若假设(1)减弱为，则系统保持简单的Lyapunov稳定性.
6　控制器设计和数字仿真例子
　　控制器设计将基于对方程(14)中的矩阵(t)的综合而进行.预选定对称正定矩阵，1及标量q∈R+，并保持定理1中的其余条件.首先采用Kronecker积对(m+l)×(n+l)维扩展矩阵(t)进行计算，并使预先选定的输出矩阵C与方程(14a)右侧的未知项分离.具体步骤如下：
　　步骤1.计算(t)
　　预先选定充分大的标量q∈R+和矩阵,1,采用左Kronecker积方法将方程(14)中的未知矩阵(t)改写为矢量形式.首先注意到存在酉阵U使得T=U,=［T1T2Tn+l］T及
　(16)
其中矢量v=［vT1vT1vTn+l］T由矩阵V的行构成；
(17a)
　　　　　　　　　　　(17b)
方程(16)中的系数矩阵的维数为(n+l)2×(m+l)(n+l)，且m≤nrank()≤(m+l)×(n+l).
　　策略1(时不变控制器).
　　预先选定′中的控制器参数，并在方程(16)中作相应的分量消除，将未知向量转换成′，则dim(′)=dim()=(m+l)(n+l)-m(p+l)=n(l+m)+l2-mp.存在酉阵使得，其中1已知并可通过Kronecker积从′中算得，将方程(16)改写为
　(18)
使得″为矩阵′按行排列后的分量.由(18)式可得
2′=v-11 ,　　　　　　　　　　　　(19)
其中rank(2)≤n(l+m)+l2-mp.若m＞n则至少存在一个解′，当且仅当rank(2)=rank［2v-11］(Froebenius定理)成立；若m≤n，通过设计(n+l)×(n+l)矩阵1并选择矢量v，使得,则上述秩条件始终成立，其中2( . )表示l×(l+n)矩阵2的行，λ( . )为一组非零标量.在方程(18)中应用Kronecker积可使得矩阵1产生(n+l)2维矢量d1，其分量依赖于λ( . )集.为了满足Froebenius条件，可采用λ( . )不等式型约束及选择d1，使其满足对矩阵1=T1＞0的(n+l)组约束.由于方程数不少于未知项的数目，λ( . )集满足上述约束且使得矢量q产生一正定矩阵.
　　采用类似的代数方程，可在把矩阵′的一部分用于预设计而其另一部分通过设计步骤求得的情形下，对矩阵″重新进行设计.为了满足Frobenius定理，矩阵(-″)需满足其列数不少于行数的必需条件l2p+l2c+l2f-mp≥n(l+n-m)，即预补偿器、前馈控制器和反馈控制器之一的阶数与系统维数相比为充分大.在此情形下系统满足可解性的秩条件rank(2)=rank［v-11］=l2p+l2c+l2f-mp+n(l+m)+l2.注意到对阶数l及方程(18)，(19)中的约束条件产生一个镇定控制器的最低阶数l0.因此，需在l≥l0的约束条件下选择适当的控制器阶数l.
　　策略2(时变控制器).
　　在此情形下，可在时刻t-σ求得矩阵′，然后用于设计时刻t的矩阵.因此，可根据策略1中给出的一组时间相关方程重新进行设计.
　　步骤2.
　　采用步骤1中由Kronecker积计算所得的矢量可对方程(9)中的控制矩阵进行计算.为简明起见，可在时刻t求得时刻t′＜t时的控制矩阵′.再从矩阵块(1，1)，(1，2)，(1，4)，(3，1)，(3，2)，(3，4)中获得矩阵积DcDf,DcCp,DcCf,McDf,McCp,McCf,其紧凑形式为［DTcMTc］X=［MT1MT2］；X=［DfCpCf］,矩阵Dc,Mc,X,M1,M2的维数分别为m×mp,lc×mp,mp×(mf+lp+p)(因为mp=mf,p=lf),m×(mp+lp+p),lc×(mp+lp+p).由于矩阵M1,2从块矩阵中求得，若预先选定矩阵对(Dc,Mc)使得rank［DTcMTc］=rank［DTcMTcMT1MT2］,则存在(非唯一)解矩阵X.若mc+lc=m+lc=m2p且选择矩阵对(Dc,Mc)使得Det(［DTcMTc］)≠0，则存在唯一解X=［DfCpCf］=［DTcMTc］-T［MT1MT2］T.若矩阵M1,2在时刻t为零，则可以选择矩阵集(Dc,Mc,Df,Cp,Cf)恒等于零.
　　仿真例子
　　考虑三阶实不变SPVD系统(8)的参数计算，其中

方程(8)中的其余参数矩阵为零，点型内时延为h=0.1，点型外时延为h′=0.4，分布型时延为零.此例中参考信号恒等于零，因此上述系统为调节器型.采用策略1来设计动态时不变控制器(9)，其参数如下：
Ap=Block Diag［-1.682,-1.33774,-2.000067］,　　　　　　　　　　　　　

方程(9)中的其余矩阵恒等于零，因此，可在图1中略去前馈控制器增益kc.反馈控制器kf为静态控制器，预补偿器kp为三阶动态补偿器，即整体扩展系统为三阶系统.闭环系统输出的第一分量和输入的第三分量分别示于图2和图3.通过其它参数设计，可以同样确保系统的镇定性.假设系统为单输入双输出系统，矩阵C，M，E为,M=E=［1,1,1］T，则在此情形下采用相同的矩阵Ap，并选择dc=-90.25; df=150.76,可得闭环极点(-206，479，-1.47629，-0.414431)；若选择dc=-100.25; df=150.76,可得闭环极点(-196.215，-1.01753±0.995646j).在上述两种情形中，预补偿器的开环极点为(-1.682，-1.33774，-2.00067).
　　　　　
(a)零初值条件下的调节输出　　　　　(b)初值条件时的调节输出
图2
　　　　　　　　
(a)在图2(b)试验条件下的输出分量1　　　　　(b)在图2(b)试验条件下的输入分量3
图3
致谢　对西班牙科学技术委员会通过科研项目PB93-0005给予的支持表示感谢.
作者简介：M de la Sen　毕业于西班牙巴斯克大学，1975和1979年分别获巴斯克大学应用物理学硕士和应用物理学博士，1987年获法国格雷诺贝尔大学物理学国家博士.现在西班牙巴斯克大学任系统和控制工程教授.
　　　　　罗宁苏　毕业于中国科技大学，1985年获该校系统科学和管理科学硕士学位，1989年获东南大学自动控制工程博士学位，1994年获西班牙巴斯克大学物理学博士学位.先后在西班牙巴斯克大学和加泰罗尼亚大学从事博士后研究，现任巴斯克大学教授.
作者单位：巴斯克大学电子电力系　西班牙
参考文献
［1］　M de la Sen. Fundamental properties of linear control systems with after-effect, Part Ⅰ:The continuous case, Part Ⅱ:Extensions including the discrete case. Math. Comput. Modelling, 1988, 10(7):473-502.
［2］　Burton T A. Stability and Periodic Solutions of Ordinary and Functional Differential Equations, New York:Academic Press, 1985.
［3］　Pandolfi L. Generalized control systems boundary control systems and delayed control systems. Math. Control Signal Syst., 1990, 3:165-181.
［4］　Lee E B, Olbrot A. Observability and related structural results for linear hereditary systems. Int. J. Control, 1981, 34(6):1016-1078.
［5］　Watanabe K. Finite spectrum assignment and observer for multivariable systems with commesurate delays. IEEE Trans. Autom. Control, 1986, 31(6):543-550.
［6］　Agathoklis P, Foda S. Stability and the matrix Lyapunov equation for delay differential systems. Int. J. Control, 1989, 49(2):417-432.
［7］　Tadmor G. Trajectory stabilizing controls in hereditary linear systems. SIAM J. Control Optim., 1988, 26(1):138-154.
［8］　Alastruey C F, M de la Sen, González de Mendívil J R. The stabilizability of integro-differential systems with two distributed delays. Math. Comput. Modelling, 1995, 21(8):85-94.
［9］　M de la Sen. On the stabilizability, controllability and observability of linear hereditary systems with distributed commensurate delays. Int. J. Syst. Sci., 1993, 24(1):33-52.
［10］　M de la Sen. On some structures of stabilizing control laws for linear and time-invariant systems with bounded point delays and unmeasurable states. Int. J. Control, 1994, 59(2):529-541.
［11］　M de la Sen, Luo N. Discretization and FIR filtering of continuous linear systems with internal and external point delays. Int. J. Control, 1994, 60(6):1223-1246.
［12］　Luo N, M de la Sen. Output feedback stabilization of a class of internally delayed systems. Int. J. Syst, Sci., 1995, 26(2):421-433.
［13］　Zheng F, Cheng M, Gao W-B. Feedback stabilization of linear systems with distributed delays in state and control variables. IEEE Trans. Autom.Control, 1994, 39(8):1714-1718.
收稿日期　1995-12-25
