自动化学报
ACTA AUTOMATICA SINICA
2000　Vol.26　No.3　P.427-429



保证闭环性能品质的奇异摄动类降阶方法
张力军　程鹏
关键词　控制器降阶，奇异摄动降阶法，广义奇异摄动降阶法，均衡截取法，双线性变换.
A CLASS OF SINGULAR PERTURBATION APPROXIMATION
METHODS FOR CONTROLLER ORDER REDUCTION WITH
GUARANTEED CLOSED LOOP PERFORMANCE
ZHANG Lijun　CHENG Peng
(Department of Automatic Control, Beijing University of Aeronautics and Astronautics, Beijing　100083)
Key words　Controller order reduction, singular perturbation approximation, generalized singular perturbation approximation, balanced truncation method, bilinear transform.
1　引言
　　目前，由于H2，H∞和μ等理论所设计的控制器阶数较高，迫切需要对其进行降阶.Zhou等人［1］针对某一类控制系统，提出了保证闭环性能品质的结构均衡截取控制器降阶方法.Do Chang Oh等人［2］将此方法推广到了奇异摄动降阶方法，它具有低频段误差较小的优点.
　　本文在Zhou等人方法的基础上，利用奇异摄动降阶方法同截取降阶方法的双线性变换关系，用比较简洁的方法证明了Do Chang Oh等人的结果.并进一步运用这种思想，推广得到了保证闭环性能品质控制器降阶的广义奇异摄动方法.
2　保证闭环性能品质的结构均衡截取控制器降阶方法［1］
　　定理1［1］.设控制器K(s)使得闭环传递函数　Tzω(s)=F1(G,K)∈RH∞，并且存在P=diag(P1,P2)≥0和Q=diag(Q1,Q2)≥0满足
　　　(1)
　　　　(2)
　　并进一步假设存在可逆阵T1和T2，使得
　　　(3)
T2P2T′2=(T-12)′Q2T-12=Σ=diag(Σ1,Σ2),　　　　　(4)
　　其中Σ1=diag(σ1，…，σr)，Σ2=diag(σr+1,…，σm),σr>σr+1.
　　　(5)
这里K(s)系统矩阵分块同Σ的分块一致，则降阶的控制器
　　稳定.并且降阶前后闭环系统的误差界为
　　　(6)
　　将Σ分解的维数分配主要由降阶控制器的阶数和Σ对角元数值大小的差别决定.
3　保证闭环性能品质的奇异摄动控制器降阶方法
　　定理2［2］.在定理1的条件下，则式(5)的奇异摄动降阶控制器
　　　(7)
这里K(s)系统矩阵分块同Σ的分块一致.降阶后闭环系统满足

　　降阶前后闭环系统的误差界　　　(8)
并且有
　　　(9)
显然，这种方法在低频段误差较小.
　　这里，利用文献［3］中的引理9.2.2，通过两次双线性变换可比较简洁地证明了定理2.首先，通过变换得然后，用定理1对其进行降阶得最后，根据文献［3］中的引理9.2.2显然有

证毕.
4　保证闭环性能品质的广义奇异摄动降阶法
　　设离散系统的控制器K(z)的状态方程形式与式(5)相同，很容易得到离散系统的保证闭环性能品质的均衡截取降阶方法.再利用广义奇异摄动降阶方法同它的双线性变换关系，便得出了保证闭环性能品质控制器降阶的广义奇异摄动方法.
　　定理3.在定理1的条件下，式(5)的广义奇异摄动降阶控制器

　　这里K(s)系统矩阵分块同Σ的分块一致.降阶后闭环系统满足

并且有
5　结论
　　本文利用奇异摄动类降阶方法同截取降阶方法的双线性变换关系，得出了保证闭环性能品质的奇异摄动类控制器降阶方法.通过数值例子可以看出，奇异摄动降阶法的优点是零频率处无差，它能够较好地保证降阶后系统响应的稳态值不变.广义奇异摄动降阶法可以通过选择参数α得到比较满意的降阶控制器.
国家自然科学基金资助项目.
　　张力军　1971年生，1998年获北京航空航天大学自动控制系博士学位，研究领域为鲁棒控制、控制器降阶、飞行控制系统以及奇异摄动控制系统的分析与设计.
　　程　鹏　1938年生，1962年毕业于北京大学数学力学系.现任北京航空航天大学自动控制系教授、博士生导师.研究领域为线性系统理论、多变量系统理论、鲁棒控制和飞行控制系统.
张力军（北京航空航天大学自动控制系　北京　100083）E-mail:ljzhang@hotmail.com.
程鹏（北京航空航天大学自动控制系　北京　100083）
参考文献
［1］　Zhou K, D'souza C, Cloutier J R. Structurally balanced controller order reduction with guaranteed closed loop performance. System and Control Letters, 1995, 24(2):235～242
［2］　Oh D Ch, Bang K H, Park H B. Controller order reduction using singular perturbation approximation. Automatica, 1997,33(6):1203～1207
［3］　Green M, Limbeer D. Linear Robust Control, Eaglewood Cliffs, NJ:Printice-Hall, 1995, 338～339
［4］　张力军，程鹏.保证性能品质的奇异摄动降阶方法.见：中国控制会议文集，浙江宁波，1998，国防大学出版社，117～120
收稿日期　1998-03-27
修稿日期　1998-12-03
