自动化学报
ACTA AUTOMATICA SINICA
1998年 第24卷 第4期 Vol.24 No.4 1998




非有理传递函数矩阵4-块H∞控制问题的一种设计方法
鹿浩　王志宏　方华京　黄心汉
关键词　非有理传递函数矩阵，H∞控制，4-块问题.
A FOUR-BLOCK H∞ CONTROL DESIGN FOR IRRATIONAL TRANSFER MATRICES
LU HAO WANG ZHEHONG FANG HUAJING HUANG XINHAN
(Dept. of Autom. Contr. Eng., Huazhong Univ. of Sci. & Tech., Wuhan 430074)
Key words　Irrational transfer matrices, H∞ control, 4-block problem.
1　引言
　　无限维系统H∞控制的研究虽然在H∞控制理论发展的早期就已开始，但其结果至今尚很不完善.利用斜Toeplitz算子方法和Krein空间方法直接对无限维系统进行H∞优 化设计，所获得的控制器一般情况下是无限维的，通常要进一步进行有限维近似.另外，对 无限维系统进行互质分解也是比较烦琐的工作.文献［1］利用分解对象为其有限维近似(可 能不稳定)与稳定的有限维和无限维系统之和，将非有理传递函数矩阵的混合灵敏度问题转 化为以其近似有理传递涵数矩阵为对象的相应问题.该方法的特点是对权函数和对象的要求 比较弱，避免了对无限维对象进行互质分解，且可直接获得有理次优控制器及其性能指标估 计公式.本文试图将该方法推广到一类非有理传递涵数矩阵的4-块H∞控制问题，这种推 广虽然不可能适用于所有的H∞控制问题，但它保留了上述设计特点，仍然不失为非有理 传递函数矩阵4-块H∞控制问题的值得关注的途径.

2　问题的描述
　　设被控对象和控制器的传递函数矩阵分别为G和K，Wi，i=1,2,3,4为四个有理加权函数矩阵. 本文用记号MS(S=L∞,RL∞，H∞，RH∞等)表示以S中的函数为元素的矩阵的集合，假定所有矩阵均具有适当的维数，并沿用文［1］中的稳定性定义.
　　考虑以下4-块问题
　　(1) 
在gap度量下，μ(G)关于对象G是连续的，在这一意义上问题(1)是适定的详情，请参考文献［2］.当W4=0时，问题(1)成为文［1］中所讨论的混合灵敏度问题
　　(2)
　　我们需要的假设与文［1］中的假设基本相同.
　　假设1.对象的传递函数矩阵可分解为
G=Gf+GS=Gf+G2+G1.　　(3)
其中Gf∈MRL∞，GS∈MH∞且严格真，GS∞充分小，G2∈MRH∞，G1∈MH∞.
　　假设2.W3，W-13∈MRH∞，W1,W2,W4真.
　　假设3.W3，W-13稳定，W-13严格真，W1，W2，W4真，且W-11∈MRL∞.
　　本文目的就是通过对Gf求解与(1)相应的次优解，来对G求解与(1)相应的次优解.

3　主要结果
　　当G满足假设1时，可得以下与文［1］引理Ⅲ.1类似的结果
　　引理1.设G满足假设1，，则当Wi,i=1,2,3,4满足假设2或假设3之一时，K稳定G当且仅当稳定.在假设2下K是(严格)真的当且仅当是(严格)真的，在假设3下K总是严格真 的而是真的.
　　引理1的证明与文［1］的引理Ⅲ.1证明类似，这里省略.设Kf是任意使Gf稳定的有理控制器，记Kf对Gf达到的性能指标为
　　(4)
　　(5)
　　对于多变量系统的4-块问题(1)，在前面所述的适当条件和分解下，可根据以下结论设计有限维次优控制器.
　　命题1.设G满足假设1，Wi=1,2,3,4满足假设2或假设3，且选取W4使(GfW4)-1∈MRL∞，则当Kf稳定Gf并达到指标μ(Gf,Kf),γ(Gf,Kf)，且G1W-13∞W-11∞γ(Gf,Kf)<1时，有理控制器K=Kf(I-G2Kf)-1 稳定G且达到性能指标
(6)
其中F=(I+G1Kf(I+GfKf)-1)-1，且有上界

　　证明.(限于篇幅，这里省略证明，感兴趣的读者可与作者联系).
　　说明1.Kf可按有理传递函数矩阵的4-块问题次优解的求解方法设计，γ(Gf,Kf)是 按4-块问题设计的Kf所达到的混合灵敏度指标.
　　说明2.文［1］的引理Ⅲ.3可作为命题1当W4=0时的特殊结果，此时μ(Gf,Kf)=γ(Gf,Kf)且含有W4的项自动消失.
　　如果选取G2=0，则可得到较低阶的控制器，且由命题1有下面的推论.
　　推论1.设G满足假设1，Wi=1,2,3,4满足假设2或假设3，且 (GfW4)-1∈MRL∞，则当Kf稳定Gf并达到指标μ(Gf,Kf),γ(Gf,K f) 且GSW-13∞W-11∞γ(Gf,Kf)<1时，有理控制器Kf稳定G且达到性能指标
　　(8)
其中F=(I+GSKf(I+GfKf)-1)-1，且有上界

(9)
　　同样，文［1］中的引理Ⅲ.4是推论1在W4=0时的特例，此时含W4的项自动消失.
4　结论
　　基于以上讨论可见，求非有理传递函数矩阵4-块问题(1)的次优解在一定条件下可以转化为 求一个与有理传递函数矩阵Gf相应的4-块问题次优解Kf.当G=GS+GS的分解使W2GSW-13∞充分小，且相应的有限维4-块问题次优解性能指标充分小时，有理控制器K=Kf或K=Kf(I-G2Kf)-1可使G达到预期的性能指标.与斜Toeplitz算子方法相比，这一途径具有对被控对象的要求弱的多、不需作互质分解、可利用有限维情形的成熟方法以及不需对控制器作有限维估计等特点.
作者单位：华中理工大学自动控制工程系　武汉　430074
参考文献
1　Curtain R, Zhou Y. A Weighted Mixed-Sensitivity H∞-control D esign for Irrational Tansfer Matrices. IEEE Trans. Autom. Control, 1996, 41(9):1312-1321
2 Englehart M J, Smith M C. A four-block problem for H∞ Design: properties and applications. In: Proc. 29th IEEE CDC,Honolulu,Hawaii,1990:2401-2406
收稿日期　1997-05-16
