信息与控制
Information and Control
1999年　第28卷　第1期　Vol.28　No.1　1999



具有多个时变时滞的不确定系统
的时滞相关稳定性
杨　斌　　潘德惠

　　摘　要　研究了具有多个时变时滞的不确定系统的 稳定性问题, 利用Razumikhn定理与向量不等式的方法, 给出了不确定时滞系统稳定的充分 条件. 所得的条件与时滞相关, 在很大程度上降低了现有结果的保守性. 文末给出了一个应 用的算例, 并与已有的结果作了比较.
　　关键词　时滞相关稳定性, 时滞系统, Razumikhn定理
DELAY-DEPENDEN STABILITY FOR UNCERTAIN SYSTEMS WITH
MULTIPLE TIME-VARYING DELAYS
YANG Bin
(Huazhong University of Science and Technology, Wuhan　430074)
PAN Dehui
(Northeastern University　Shenyang　110006)
Abstract　In this paper sufficient conditions for the stabili ty of uncertain systems with multiple time-varying delays is presented, Razumik ihn theorem and vector inequality are employed to derive the conditions. The obt ained criterion is delay-dependent criteria . Also an illustrative example is g iven to show that the obtained criterion is better than the existing one in lite rature.
Key words　delay-dependent stability, time-delay systems , Razumikihn theorem

1　引言
　　时滞系统在化工处理、柔性机器人、神经网络、最优控制等领域具有广泛的背景, 时滞的存 在使得稳定性的检验变得更加复杂, 经过国内外许多学者的努力, 迄今为止, 已有很多检验 稳定性的方法[1～7]. 现有的稳定性准则大致可分为两类: 其一为时滞独立准则[1～6],它不含时滞的任何信息; 其二为时滞相关准则[7], 它与滞后的大小有关. 由于缺少了时滞的信息, 时滞独立准则必然会使其稳定性准则具有保守性, 尤其是滞后量较小的情况. 近年来不确定时滞系统的鲁棒性问题得到了广泛的重视. 文[8～11]研究了单滞后不确定时滞系统的稳定性，其中文[8～9]给出了系统鲁棒稳定的时滞独立准则 ， 文[10～11]则给出了系统鲁棒稳定的时滞相关准则.
　　本文基于Razumikhn定理与向量不等式的方法, 导出了具有多个时变时滞的不确定系统 的时滞相关准则.算例表明, 与现有的准则比较, 本文结果不仅降低了保守性而且宜于应用. 
　　本文将使用如下符号:xT与MT分别表示向量x∈Rn与矩阵M∈Rn×n的转 置. λmax(M)与λmin(M)分别表示矩阵M最大特征值与最小特征值.


2　主要结果
　　本文研究由下述微分-差分方程描述的时滞系统
　　　　　　(1)
这里x∈Rn为系统的状态向量,A1∈Rn×n, i∈系统的状态矩阵, f(.) 为非线性不确定扰动并且满足条件f(t,0,…,0)=0, h1(t), i∈为时变连续函数并且满足条件.0≤hi(t)≤H, H＞0.(t) 为连续的矢量初始函数.
　　在本文中我们作如下假设:存在非负常数αi,i∈n使得
　　　　　　　　　　　(2)
　　定理1　假设是渐近稳定的, 如果下述条件之一成立，则系统(1)渐近稳定.
　　　　　　　　　　(3)
　　　　　　　　　　　(4)
其中为Lyapunov方程
ATP+PA=-Q　　　　　　　　　　　　　　　　　　(5)
的唯一解, Q=QT＞0为任意给定的矩阵, ε＞0为常数.
　　证明　令h0(t)=0,θ(t)=θ(-H),  -2H≤t≤-H,则由(1)我们有
　　　(6a)
x(t)=θ(t), t∈[-2H,0]　　　　　　　　　　　　　　(6b)
取系统的Lyapunov函数为
V(x(t))=xT(t)Px(t)　　　　　　　　　　　　　　　(7)
则V(x(t))沿着系统(6)的解的导数为
　　　(8)
利用向量不等式
　　　　　　　　　　　　　(9)
这里ε＞0为任意常数, 以及Razumikhin定理(Hale 1977), 我们假设对任意q＞1下 面的不等式成立.
V(x(η))＜qV(x(t)), t-2H≤η≤t　　　　　　　　　(10)
我们有
　　　　　(11)
并且
　　(12)
另外
　　　　　　　(13)
将(11),(12),(13), 代入(8)中, 并且令q→1+，我们可得
　　　　　　(14)
如果条件(3), (4)之一成立, 则一定存在常数δ＞0使得
(x(t))＜-δ‖x(t)‖2　　　　　　　　　　　　　　　　　　(15)
则由Razumikihn定理可知, 系统(1)是渐近稳定的.

　　注1　考虑单滞后时滞系统［7］
(t)=Ax(t)+Bx(t-τ)　　　　　　　　　　　　　　(16)
文［7］的定理1给出了系统(16)稳定的充分条件为
　　　　　　　　(17)
　　　　　　　　　(18)
很明显这个结果是本文定理1当n=1且扰动为零时的一个特殊情形.
　　定理1给出了保证系统(1)稳定的时滞的界限, 条件(4)中含有一个自由参数ε, 所以定理1的 结果可以被优化, 下面的定理给出了ε的优化值.
　　定理2　设ε＞0且
　　　　　　　(19)
则当ε=[n(n+1)/μ(W)]1/2时, g(ε)取得最大值, 并且最大值为
　　　　　　　　　(20)
　　证明　求g(ε)的最大值就相当于求εμ(W)+(n(n+1)/ε)的最小值. 注意到
εμ(W)+(n(n+1)/ε)={[εμ(W)]1/2-(n(n+1)/ε)1/2}2+2[n(n+1)μ(W)]1/2　　(21)
则如果条件ε=[n(n+1)／μ(W)]1/2成立, 则可得定理的结论成立.
　　推论　假设是渐近稳定的, 如果下述条件 成立，则系统(1)是渐近稳定的.
　　　　　　　(22)
3　算例
　　研究不确定时滞系统［10～11］
(t)=(A+ΔA(t))x(t)+(B+ΔB(t))x(t-τ(t))　　　　　　　　(23)
这里


显然A+B是稳定矩阵, 令Q=I由Lyapunov方程(5)可求得

因此λmax(P)=0.2786, λmin(Q)=1, ‖PB‖=0.3238,μ(W)=0.52, α=β=0.3.
由推论1我们可得τ(t)＜0.2745.令P=I，由Lyapunov方程(5)可求得

因此λmax(P)=1, λmin(Q)=3.5858, ‖B‖=1.618,μ(W)=14, α=β=0.3.
由推论1我们可得τ(t)＜0.1904.
　　注2　文[10]的主要结果为τ(t)＜0.1575当P=I时;τ(t)＜ 0.1198当Q=I时. 而文[11]的主要结果为τ(t)＜0.1583.由此可见本文的结果比文[10～11]具有更低的保守性. 应该指出的是, 文[8～9]给出的时滞独立的稳定性准则应用于系统(23) , 得不出系统稳定的结论.
4　结论
　　基于Razumikihn定理以及向量不等式的方法, 得到了具有多个时变时滞的不确定系统的 稳定性准则. 所得的结果包含时滞的信息, 属于时滞相关准则. 因此本文所给的条件与时滞 独立的稳定性准则比较, 具有较低的保守性. 算例表明, 利用本文导出的稳定性条件(与文[10～11]得出的结果比较)可以给出时滞界限较高的估计. 本文的结果可望应用于不确定时 滞系统的控制与镇定问题.
作者简介：杨　斌，男，25岁，博士生．研究领域为系统的稳定性分析与鲁棒控制．
　　　　　潘德惠，男，70岁，教授，博士生导师．研究领域为分布参数控制系统的模型辨识与最优控制．
作者单位：杨　斌：华中理工大学信息学院　武汉　430074
　　　　　潘德惠：东北大学信息科学与工程学院 　沈阳　110006
参考文献
1　 Mori T, Fukuma N, Kuwahara M. Simple Stability Criteria for Singl e and Composite Linear Systems with Time Delays.Int.J.Control,1981,34:1175～1184
2　 Mori T, Fukuma N, andKuwahara M. On an Estimate of the Decay Rate for Stable Linear Delay Systems. Int.J.Control,1982,36:95～97
3　 Thowsen A. Stability of Time-delay with Simpled Feedback. Int.J.Control,19 81,34:835～840
4　 Thowsen A. Uniform Ultimate Boundedess of the Solutions of Uncertain Dynamic Delay Systems with State-dependent and Memmoryless Feedback Control. Int.J.Co ntrol,1983,37:1135～1143
5　 Mori T. Criteria for Asymptotic Stability of Linear Time-delay Systems. IEE E Trans. Autommat Contr.,1985,AC-30:158～161
6　 Mori T, Kokame H. Sability of (t)=Ax(t)+Bx(t-τ). IEEE Trans Auto mmat. Contr., 1989,AC-34:460～462
7　 Su N H, Wei W. Design of Vehicle Following Control Systems with Actuator Delays. Int.J.Control,1997,28:145～151
8　 Wang S S, Chen B S, Lin T P. Robust Stability of Uncertain Time-delay Syst ems. Int.J. Control,1987,46:963～976
9　 Su T J, Kou T S, Sun Y Y. Robust Stability for Linear Time-delay Systems w ith Linear Parameter Perturbation.Int.J.Syst.Sci.,1988,19:2123～2129 
10　Su T J, Huang C G. Robust Stability of Delay Dependent for Linear Uncerta in Systems. IEEE Trans.Autommat.Contr..1992,AC-37:1656～1659
11　Xu Bugong. Delay-dependent Stability for Linear Uncertain Time-delay Syste ms. 控制理论与应用,1996, 13(4):426～430
12　Hale J K. Theory of Functional Differential Equation. New York:Springer-Ver lag,1979
　
收稿日期：1997-12-16
