自动化学报
ACTA AUTOMATICA SINICA
2000　Vol.26　No.3　P.419-422



区间系统的离散鲁棒Kalman滤波
张勇　史忠科戴冠中　周自全
摘　要　着重研究区间系统的鲁棒滤波问题.通过等价变换，将区间系统转换为对应的矩阵范数不确定系统，并据此导出区间系统的鲁棒滤波算法.该算法为一离散验后（a posteriori）滤波算法，它能保证区间系统的滤波误差有界.理论分析和实际计算结果表明，本算法能达到比验前（a priori）滤波小得多的滤波误差的方差上界.
关键词　鲁棒滤波,区间系统,鲁棒识别,状态估计.
ROBUST KALMAN FILTERING FOR THE DISCRETE-TIME
INTERVAL SYSTEM
ZHANG Yong　　SHI Zhongke　　DAI Guanzhong
(Institute of Air Traffic Management, NPU, Xi'an　710072)
ZHOU Ziquan
(China Flight Test Establishment, Xi'an　710089)
Abstract　This paper deals with the robust Kalman filtering method for the discrete-time interval system. By equivalent transformation, the interval system is transformed to an uncertain system with matrix norm bounds. Then a posteriori robust Kalman filter is proposed, which can guarantee a variance bound of the filtering error. Both analysis and practical computing show that this filter can get a much lower variance bound than a priori one can.
Key words　Robust filtering, interval system, robust identification, state estimation.
1　引言
　　区间系统是指系统状态矩阵的元素在一些确定区间内变化的系统.这类系统在实际中广泛存在，如电机控制系统等.近年来，关于区间系统的鲁棒控制问题已取得许多成果［1,2］，但关于区间系统的鲁棒滤波研究尚不多见.另一方面，含不确定模型误差系统的鲁棒Kalman滤波问题得到了广泛地研究，并取得了不少的成果［3］.但这些成果都以考虑验前（a priori）滤波的形式为主，较少使用验后(a posteriori)滤波的算法.由于Kalman滤波验后算法的精度比验前算法高，故研究鲁棒条件下的验后滤波算法具有很大的实际意义.
2　问题描述
　　考虑如下离散区间系统
xk+1=Axk+Bwk,　　　　　　　　　(1a)
yk=Cxk+vk,　　0≤k≤N-1.　　　(1b)
上式中状态xk∈Rn；输出yk∈Rr;系统噪声向量wk的噪声强度为W≥0，观测噪声向量vk的强度为V>0，它们都与系统状态无关；B和C为适当维数的矩阵，A为系统状态转移矩阵，它的参数不能准确确定，但已知它们属于某些确定的区间，即
　　　　(2)
这里L和U分别为A中各元素的下界和上界组成的矩阵.
　　可以方便地证明［2］，区间矩阵A可等价地表示为如下矩阵不确定的形式
A=A0+HFE,　　FFT≤In2,　　　(3a)
其中A0=(U+L)/2，令G=(U-L)/2，则G中的元素Gij≥0，
　　　(3b)
　　(3c)
ei是第i个元素为1的单位列向量，F为n2×n2阶对角矩阵，In2表示n2阶单位矩阵.
　　这样，区间系统的滤波问题就转化为不确定系统(1)和(3)的滤波问题.参考标准的Kalman滤波算法，本文采用具有如下结构的验后滤波公式
　　　(4)
式中为系统状态的滤波结果，Ae,k+1和Ke,k+1分别为滤波器的状态矩阵和增益矩阵.
3　鲁棒验后滤波算法
　　参照系统(1)，(3)和滤波方程（4）, 定义状态的估计误差ek=xk-，则有
ek+1=(I-Ke,k+1C)［Ae,k+1ek+(A0-Ae,k+1+HFE)xk+Bwk］-Ke,k+1vk+1.　　　　(5)
　　考虑扩展状态系统ηk=［xTk　eTk］T，则其运动方程为
　　　　　(6)
其中

　　容易验证扩展系统的状态方差阵Xk=E｛ηkηTk｝满足Xk≤，这里是满足如下迭代方程的正定解
　　　(8)
这里λ>0为任意实数，(P)表示矩阵P的最大奇异值，其他参数的定义同前.
　　将上式中的按x和e的维数分解成如下四块子矩阵
　　　　(9)
　　显然，区间系统(1)的滤波误差方差满足
　　　(10)
　　现需合理选择Ae,k+1和Ke,k+1以保证｛Qk｝序列最小，由此本文得到以下主要结果.
　　定理1.如果对任一实数λ>0,有满足下式的正定解Rk存在
　　　(11)
则区间系统(1)的滤波方程(4)中，选择
Ae,k+1=A0,　　　　　　　　　(12a)
Ke,k+1=PkCT(V+CPkCT)-1　　　　(12b)
能保证区间系统的滤波误差上界序列｛Qk｝达到极小，且Qk满足如下迭代方程

其中k=(ERkET)为矩阵ERkET的最大奇异值.
　　证明.将(8)式中的按分块形式展开，按(12)式选择Ae,k+1可保证12,k=22,k成立，这意味着滤波误差ek与状态估计值无关，从而可达到最优的状态估计值［3］.再由22,k+1对Ke,k+1求极值，即可得Ke,k+1的表达式.然后将Ae,k+1和Ke,k+1代入分块矩阵22,k+1，经过一定的矩阵运算，即可得到方程（13）.方程（11）由11,k+1子块的方程直接得来.证毕.
　　本算法在计算形式上与标准Kalman滤波结构相似，公式中的Pk对应于标准Kalman滤波中的验前方差阵（预测方差），而Qk对应于验后方差阵(滤波方差).由（13）式知，验后滤波方差阵Qk一定小于验前滤波方差阵Pk.另外，HHT和(ERkET)可直接算得
　　　(14)
　　　(15)
当系统维数较高时，可采用(14)和(15)式代入定理中计算，以减少计算困难.
4　计算实例
　　考虑如下形式的区间系统
　　　(16a)
yk=［-100 10］xk+vk,　　　　　(16b)
其中噪声wk,vk的强度为W=1，V=100.现需要对状态向量xk的第一个分量x1,k进行滤波处理.采用（13）式，算得稳态滤波误差的方差上界为1.43，而对应的验前滤波误差上界为85.94.另外，我们还在矩阵A分别取为区间矩阵的中心、上界和下界三种情况下，计算了鲁棒滤波误差方差的真实值，并与标准Kalman滤波的结果进行了比较，结果见表1.从表中可见，当系统矩阵有偏差时，本文提出的滤波算法有较大的优越性.
表1　E｛(x1-1)2｝的真实值比较

滤波算法A=A0A=A0+GA=A0+G
标准Kalman滤波0.0262.561.38
验后鲁棒滤波0.840.870.81

5　结论
　　本文研究了区间系统的鲁棒滤波问题，并给出了对应的鲁棒验后滤波算法，它能保证区间系统滤波误差的方差在一定的范围之内.理论分析和实际算例都表明，本算法能得到比鲁棒验前滤波算法更小的估计误差方差上界.与标准Kalman滤波算法相比，当系统矩阵有偏差时，本算法有较大的优越性.
国家自然科学基金、国防基金资助项目.
　　张　勇　1965年生，西北工业大学博士生，曾获国家教委、航空航天工业科技进步奖四项，主要研究方向为鲁棒控制和鲁棒滤波、交通控制、信号处理和信息融合等.
　　史忠科　1956年生，工学博士，教授，博士生导师.近年来主持了30余项实际控制系统的研究.16项成果已经通过了部级技术鉴定；获国家教委、航空航天工业科技进步奖10项，在国内外刊物上发表论文80余篇，在国内外学术会议上发表论文50余篇，出版专著5部.主要研究领域为随机控制、智能控制、飞行力学、交通控制等.
张勇（西北工业大学空中交通管理研究所　西安　710072　E-mail:zkeshi @ nwpu.edu.cn）
史忠科（西北工业大学空中交通管理研究所　西安　710072）
戴冠中（西北工业大学空中交通管理研究所　西安　710072）
周自全（中国飞行试验研究院　西安　710089）
参考文献
［1］　Soh C B. Robust stability of dynamic interval matrices. Control Theory and Advanced Technology, 1994,10:73～80
［2］　吴方向，史忠科，戴冠中. 区间系统的H∞鲁棒控制.自动化学报,1999,25(2)：
［3］　Yahali Theodor, Uri Shaked. Robust discrete-time minimum variance filtering.IEEE Trans.Signal Process,1996,44(2):181～189
收稿日期　1998-07-27
修稿日期　1999-03-10
