航空计测技术
AVIATION METROLOGY & MEASUREMENT TECHNOLOGY
1999年 第19卷 第5期 Vol.19 No.5 1999



空间坐标转换技术的分析与研究(二)
周维虎　兰一兵　丁叔丹　费业泰
Analysis and Study of Spatial Coordinate Transformation Technique (2)
Zhou Weihu,Lan Yibing,Ding Shudan,Fei Yetai
(上接1999年第19卷第4期第12页)
7　微分转动
　　前已叙述，坐标系间的转换一般需多次旋转，旋转次序是任意的。但应记住，绕坐标不同的旋转次序，虽然旋转角都是三个，但各自旋转角之间的差别却可能较大。也就是说，旋转矩阵运算时不能交换位置。只有当αx,αy,αz均很小时，坐标旋转才与旋转次序无关，与左、右乘也无关。此时
　　(13)
称转角α特别小时的转动为微分转动。微分转动不仅可以简化坐标转换，而且理论上可以解决绕空间任意轴的旋转问题。设O-XYZ中，任意向量的方向余弦为mx，my，mz，绕该向量转动δθ的微分转动等效于绕X，Y，Z轴的三个微分转动。三个微分转动分别为

复合微分转动为

8　齐次矩阵
　　坐标转换一般由旋转和平移组成，转换公式由(4)式表达。(4)式也可以表示成

　　(14)
　　矩阵A将旋转和平移组合在一个4×4矩阵中，称A为齐次矩阵。它广泛应用于机器人及机构运动学中。式中，R3×3为转动矩阵，O1×3为零阵，(a，b，c)T为平移矩阵向量。如果统一用齐次矩阵表示，单次旋转矩阵和平移矩阵可表示成



　　(15)
　　R后面括号中的第一个变量表示转轴，第二个变量表示转角，Trans为平移矩阵。括号中的a、b、c分别表示沿x、y、z轴移动的距离。
　　坐标转换时，只需按文中所述将齐次矩阵左乘或右乘，即可得到旋转矩阵。
　　齐次矩阵逆阵的求法如下:设有齐次矩阵

逆阵为
　　(16)
　　上面矩阵第四列各元素为矢量的数量积

其余类推。
　　在机器人运动学和机构运动学中，齐次矩阵可以很好地描述关节和机构的转动和平移。借助于微分转动和齐次矩阵可以解决物体的运动速度，借助于雅可比矩阵及其逆阵可以实现从关节速度到笛卡尔速度之间的正逆变换。本文对这些内容略加介绍，作为微分转动和齐次矩阵的应用实例。
9　微分算子
　　物体的运动速度可定义为微分运动与微分采样时间之比，研究速度需从微分运动开始，先介绍微分算子的概念。
　　机器人手臂的微分运动可认为由微分转动R(，dθ)和微分移动Trans(dx，dy，dz)组成，对手臂实施微分运动后新的位置姿态为

为微分算子。
于是
　　(17)
求得微分运动dT以后，便不难得到机器人手臂的运动速度。
10　雅可比矩阵
　　雅可比矩阵可以实现机器人手臂笛卡尔空间速度与关节空间速度之间的转换。以6关节机器人为例，手臂在笛卡尔空间的6自由度微分位移可表示为

机器人关节空间的微分位移为

这里，微分位移D与Dθ均为广义位移。于是，可定义Dθ至D的变换公式
D＝J．Dθ　　(18)
J即为雅可比矩阵。

若J的逆阵存在，则
Dθ＝J－1．D　　(19)
J－1实现了笛卡尔空间至关节空间的转换。
　　雅可比矩阵是机器人学及机器运动学的重要概念，例如，当要求喷漆机器人的手部按某一规定速度运动时，由雅可比逆阵便可求出各关节应具有的关节角速度，控制关节角速度便可实现给定的喷漆任务。雅可比矩阵J与J－1的推导非常复杂，超出了本文范围，这里不做讨论。
(续完)
作者简介：周维虎　　36岁　男　高级工程师
作者单位：北京长城计量测试技术研究所，北京市，100095
参考文献
　1　陈哲等.机器人技术基础.北京:机械工业出版社,1997
　2　夏凯等.机器人控制.北京:清华大学出版社,1994
　3　李广云等.工业测量系统.北京:解放军出版社,1994
　4　数学手册.北京:高等教育出版社,1990
