自动化学报
ACTA AUTOMATICA SINICA
1998年 第24卷 第4期 Vol.24 No.4 1998




关于非线性Morgan问题的一个充分条件
孙振东　夏小华
摘　要　 研究一般右可逆非方非线性系统的Morgan问题.在系统结构分解的框架下，先利用一个 类Singh算法来刻画系统本性阶与无穷零点的差集，然后给出一个求取积分串的新算法.如果上 述差集与积分串的长度满足一个简单的不等式关系，则可以证明，此时Morgan问题一定有解，并给出一组解耦反馈的构造方法.
关键词　非线性系统，Morgan问题，结构分解，积分串.
A SUFFICIENT CONDITION FOR NONLINEAR MORGAN'S PROBLEM
SUN ZHENDONG XIA XIAOHUA
(7th Research Division,Beijing Univ.of Aero.and Astro.,Beijing 100 083)
Abstract　This paper is to study the so－called Morgan's problem for general nonsquare nonlinear systems.Within the framework of structural dec omposition,a quasi－Singh's algorithm is utilized to characterize the gap betwee n the essential orders and the infinite structure,and a new algorithm is offered to calculate strings of integrators.If the gap and the lengths of the strings s atisfy a simple inequality,then the corresponding nonlinear Morgan's problem has at least one solution,and a decoupling feedback can be constructed.
Key words　Nonlinear systems,Morgan's problem,structural decompositi on,strings of integrators.
1　引言
　　非线性Morgan问题即非线性系统的非正则静态行对行解耦问题.Freund［1］最早研 究了方块系统的非线性Morgan问题.文［2］研究了非方系统的Morgan问题，给出当系统输 入数比输出数大1时Morgan问题的解，但该结果最近被举例指出是错误的［3］.文［ 4］利用非线性交互圈的概念，得到关于非线性Morgan问题的一个简单的充分条件和一个基 本的必要条件.
　　与线性情形相比，非线性Morgan问题的研究进展相当缓慢，目前已有的结果相当少.主要 原因是我们对非线性系统的结构性质知之甚少，特别是，没有找到与Morse结构分解理论平 行的结构分解算法.虽然已经对无穷结构、本性阶等结构不变量有了较系统的研究，但至今 没有一般的算法来提取可用于补偿系统无穷结构的积分串(strings of integrators).这就 使得线性系统的一些研究思路无法推广到非线性情形.
　　本文对一般右可逆非方非线性系统给出一个求取积分串的算法，然后利用它得到一般非线 性系统可解耦的一个充分条件.该条件是可验证的，其证明是构造性的.
2　预备知识
　　所谓非线性Morgan问题，是指寻找形如
u=α(x)+β(x)v,v∈Rp　　(1)
的反馈变换，使带输出的仿射非线性系统
　　(2)
解耦.
　　设在(2)式中，向量f(x),g(x),h(x)的分量是 变元x的亚纯函数.假定系统(2)右可逆，且m＞p,即(2)式为非方系统.
　　对系统(2)，记其无穷结构(infinite structure)为｛n′1,…,n′p｝，对输出y i的本性阶(essential order)为nie.这两组自然数都是系统的结构常量(在正 则反馈变换下保持不变)，其具体定义参见文［2］.
　　引理1［2］.系统(2)可通过正则静态解耦的充分且必要条件是
｛n′i｝p=｛nie｝p.
　　记li=n′1-nie,i=1,…，p.定义系统(2)的齐次阶系统为
　　(3)
可以验证，齐次阶系统(3)的所有本性阶相等(等于n′1).
　　对系统(3)实施Singh算法(见文［5］)(必要时交换输出变元的顺序)，整理可得
　　(4)
　　定义自然数集Λ=｛nie-ri∶nie-ri＞0｝.
3　一个提取积分串的算法
　　这里我们给出一个算法，从系统能控且不能观部分提取可用来补偿无穷结构的积分串.
　　记矩阵=(bT1,…,bTp)T.由于系统(2)右逆，阵行满秩.寻找阵(x)∶(m-p)×m使得记,及=(x,y(j)i,i=1,…，p, 1≤j≤n).
　　第1步.记不妨设使1=A1(x)+B1(x)u,B1行满秩，且于是有

令记将之分解为(必要时 可调换元素的顺序)使得与v2无关.
　　不妨设,使2=A2(x )+B12(x) v1满足rankB12=rank12且阵B12行满秩.于是有令记,将之分解为(必要时可调换元素的顺序),使得3=A3(x)与u无关.于是.
　　第k步.设已构造出z1，…，z2k-3,1，3，…，2k-1,满足

　　不妨设,使(z2k- 1)(k)=A2k-1(x)+B2k-1(x)u,B2k-1行满秩，且rank 于是有

令，记.将之分解为(必要时可调换元素的顺序),使得与v2无关.
　　不妨设,使(z2k)(k)=A2k(x)+B12k(x)v1满足rankB12k=rank12k且阵B12k行满秩.于是有.令,记

将之分解为(必要时可调换元素的顺序)，使得(2k+1)(k)=A2k+1(x)与u无关.于是

　　若2k+1空，则算法结束，否则继续第k+1步.
　　结论.设算法在第k*步结束.记，对矩阵自上而下选择线性无关的行向量，设得到其第1，…，p,k1,k2,…，km-p行是线性无关.令

其中y*(k)是指向量y*的第k个元素.
　　对每个1≤i≤m-p,定义自然数σi=max｛k∶ξ(i)是zk的元素｝.于是我们可以定义m-p个积分串

　　定义自然数集Θ=｛σ1,…，σm-p｝.
　　注.一般地说，上述算法提取的积分串不是最大长度的.但由该算法得到积分串的个数(m-p 个)是最大的，这一事实蕴含了文［4］的Lemma4.1.
4　充分条件
　　给定两个自然数集Di=｛ai1,…，aiji｝,i=1,2,称D1D2，若存在集合D1的一种剖分D1=j2i=1D1i,使得

　　利用上一节提供的算法，我们可以给出非线性Morgan问题有解的一个充分条件.
　　定理1.系统(2)的非线性Morgan问题有解的一个充分条件是
　　(5)
　　证.设S=｛i∶nie＞ri｝=｛τ1,…，τl｝,τ1＜…＜τl及Λ=｛q 1,…，ql｝.由(5)式，不妨设存在整数0=j0＜j1＜j2＜…＜jl=m-p,使得

　　定义反馈vk=ξ(k+1),k｛ji｝l.可得到l个积分串

　　由于ri=nie,i=1,…，τ1-1,(4)式的前τ1式形为

令aτ1(x)+bτ1(x)u=ξ(1)(Σj1k=1σk-q1),则有
y(j)τ1=y(j)τ1(x),　j=rτ1,…，nτ1e-1，
及
y(nτ1e)τ1=vj1.
　　至此，我们有

令aτ2(x)+bτ2(x)u=ξ(j1+1)(Σj2k=j1+1σk-q2),则有
j(j)τ2=y(j)τ2(x),j=rτ2,…，nτ2e-1,
及
y(nτ2e)τ2=vj2.
　　如此继续下去，令aτi(x)+bτi(x)u=ξ(ji-1+1)(Σjik=ji-1+1σk-qi),i=3,…，l，则最后可得到

由引理1知系统(2)可行对行解耦.证毕.
　　例.考察系统
　　(6)
　　对系统(6)施行齐次化的Singh算法，可计算出Λ=｛3，2｝.
　　另一方面，利用我们的算法可提取出3个积分串

于是Θ=｛2，2，1｝.
　　容易验证条件(5)成立.因此系统(6)可通过非正则静态反馈实现解耦.根据定理1的证明，可求得一个解耦反馈为
　(7)
5　结束语
　　对一般右可逆非方非线性系统，本文初步讨论了系统的结构分解问题.利用齐次化的Singh算法，得到系统能控且能观部分的结构分解式，由此可得到系统输入－输出的耦合信息；给出一个算法，从系统能控且不能观部分求取用于补偿系统无穷结构的积分串.由上述分解式中可提取两组自然数，定理1指出，如果这两组常数满足一简单的不等式，那么系统的非线性Morgan问题有解.定理1的条件是可以验证的，其证明是构造性的，但所给条件一般不是必要的.
　　非线性Morgan问题是一个相当困难而复杂的问题.本文的讨论是初步的.进一步的工作应该改进本文所给的用于求积分串的算法，以获得更大长度的积分串.另一方面，我们认为，要深入地研究非线性Morgan问题，需要寻求(有别于处理线性Morgan问题的)新的思路和数学工具.
作者简介：孙振东　男，1968年生.1990年毕业于青岛海洋大学应用数学系，1993 年在厦门大学系统科学系获硕士学位，1996年于北京航空航天大学第七研究室获博士学位. 目前在清华大学自动化系从事博士后研究.感兴趣的研究领域包括非线性控制系统，混合动 态系统及离散事件系统.
　　　　　夏小华　北京航空航天大学第七研究室教授，博士生导 师.曾访问德国Stuttgart大学，法国Nantes大学以及新加坡国立大学.主要研究方向包括非线性反馈控制，采样系统等.
作者单位：北京航空航天大学第七研究室　北京　100083
参考文献
1　Freund,E.The structure of decoupled nonlinear systems.Int.J.Contr.,1975,21:443-450
2　Glumineau A,Moog C H.Nonlinear Morgan's problem:case of (p+1) inputs and p outputs.IEEE Trans.Automat.Contr.,1992,37:1067-1072
3　孙振东，夏小华.关于非线性Morgan问题的一点注记.见：中国控制会议论文集，1996
4　Di Benedetto M D,Glumineau A,Moog C H.The nonlinear interactor and its appl ication to input－output decouping.IEEE Trans.Automat.Contr.,1994,39:1246-1250
5　Di Benedetto M D,Grizzle J W,Moog C H.Rank invariants of nonlinear systems. SIAM J.Contr.Optimiz.,1989,27:658-672
收稿日期　1996-07-01
