导弹与航天运载技术
MISSILES AND SPACE VEHICLES
1999年 第1期　No.1 1999



余度捷联惯性测量装置的最佳测量
金　宏　张洪钺
　　摘要　讨论了余度捷联惯性测量装置中传感器的配置问题，对几种优化性能指标进行了比较，并给出了最优冗余配置的充要条件。最后以5个传感器配置的余度系统为例，给出其最佳结构配置。
　　主题词　捷联式惯性制导，冗余技术，精度。
Optimal Measurement of Redundant Strapdown 
Inertial Measurement Unit
Jin Hong　Zhang Hongyue
(Dept. of Automatic Control, Beijing Uni. of Aero. & Astro., 100083)
　　Abstract　The configuration of sensor in redundant strapdown inertial measurement unit is discussed in this paper. Some kinds of performance indexes have been compared and a sufficient and necessary condition of the optimal redundant configuration is given. Finally, an example of the redundant system composed of five sensors and its optimal configuration are given.
　　Key Words　Strapdown inertial guidance, Redundancy technique, Accuracy.
1　前　言
　　在捷联惯导系统中，传感器提供的信息不仅送入导航系统，而且还可送入控制系统，故它是导航与控制的关健，对它的可靠性要求高。为了提高系统的可靠性，在系统设计中，除了选用高可靠性的单元器件组成系统，也可采用冗余技术通过一定数量的较低可靠性的单元器件来组成高可靠性的系统。就我国目前来讲，由于技术比较落后，很难生产出高可靠性的单元器件，即使技术可行，也需要花费大量的资金，因此冗余技术是目前行之有效的办法。有关这方面的例子很多，航天飞机中的飞行计算机和速率陀螺仪都采用3个作为冗余使用［1］。
　　在平台惯导系统中，一般陀螺仪的测量轴和加速度计的测量轴沿相互垂直的坐标轴安装。这样，当一个惯性器件失效时，系统就不能正常工作。为了提高可靠性，在载体上可配置两套系统，而捷联式惯导系统优于平台惯导系统的一个特点是便于构成余度惯性器件系统(简称余度系统)。由于采用了冗余技术，从而增加了惯性器件故障的容许次数，提高了惯导系统的可靠性。
　　目前，对于余度捷联惯性测量装置(RSIMU)，主要采用斜置式安装。比如目前比较理想的6个单自由度陀螺仪组成的余度系统，其测量轴分别沿十二面体的6个平面的法线方向配置，这种配置具有几何的对称性，即所有陀螺仪的测量轴彼此相距1个球面角2α=63.4°。
　　惯性测量装置(IMU)主要由陀螺、加速度计两种传感器构成。本文主要以陀螺为对象来讨论IMU的测量性能。
2　测量模型
　　考虑由m个陀螺来测量3个方向的位置角速率，这时测量方程为
Y=Hx+ε(1)

式中　Y——m个陀螺测量数据；
　　　H——陀螺配置结构设计矩阵；
　　　x——飞行器3个方向的位置角速率，x∈R3；
　　　ε——测量噪声。
　　 当采用正交式安装陀螺位置时，为了保证捷联式惯性导航系统能够正常工作，通常需要3个单自由度陀螺仪或2个双自由度陀螺仪。因此当采用冗余惯性元件来提高系统的可靠性时就需要m＞3个单自由度陀螺仪。
　　由于采用相同性能的惯性元件构成余度系统，因此可假设各个陀螺测量误差的统计特性相同。对于单自由度陀螺仪，各个测量误差εi(i=1，2，…，m)是独立的，并假设为零均值、方差为σ2的白噪声。因此有：
E(ε)=0，　　D(ε)=σ2Im×m(2)

式中　Im×m——m×m单位阵。
3　估计误差
　　不失一般性，考虑由单自由度陀螺构成的余度系统。根据上节的假设，可由最小二乘法得到x的最小二乘估计：
(3)

式中　M=(H′H)－1H′，其估计协方差阵为
(4)

其中，G=(H′H)－1，当不考虑余度系统时，3个陀螺仪安装方式通常是沿飞行器上3个相互垂直的轴安装，即正交配置，用以测量飞行器3个轴向的转动角速度，这时H=I3×3，M=G=I3×3，从而x的最小二乘估计为
(5)

这说明无冗余时，捷联惯性测量装置的3个轴向的测量精度就是陀螺的测量精度本身，IMU的测量精度没有任何改进。当采用冗余技术后，IMU的测量精度有无提高，也即能否保证
G＜I3×3(6)

成立，并且对于何种配置，使得IMU的测量精度最佳。
　　定理1：记λ1，λ2，λ3为H的奇异值，当｜λi｜＞1时(i=1,2,3)，式(6)成立。
　　证明：由奇异值分解，存在正交阵U∈Rm×m，V∈R3×3，使得其中，Λ=diag(λ1，λ2，λ3)。当｜λi｜＞1时(i=1,2,3)，Λ＞I3×3，于是G－1=VΛ2V′＞VI3×3V′=I3×3，即G＜I3×3。
4　几种性能指标
　　式(3)作为3个轴向转动角速度的估计，其估计误差直接影响了IMU的估计精度，从而影响了飞行器的精度，因此对余度IMU，有必要对其敏感器元件进行优化配置，使得估计协方差阵式(4)在一定的指标下达到最优。关于这个问题，文献［2］针对使用4，5，6个传感器构成的各种余度系统，给出了几种配置方案，并提出了最佳配置的性能指标函数，文献［3］，［4］也提出了关于H的最佳配置的性能指标函数。本文将证明，在一定的条件下，它们之间是等价的。
　　这里只讨论无故障模式下的性能指标函数，至于有故障模式(比如4个传感器的余度系统可有1个传感器发生故障，5个传感器余度系统可有1个或2个传感器发生故障等)的性能指标函数可参考文献［2］。
　　a) 考虑x的最小二乘估计式(3)：
　　记随机项ε=(e1,…,em)′对3个垂直轴的影响程度为Ex,Ey,Ez，当无故障时，
(7)

于是文献［2］提出了单位随机分量下(ej=1，j=1,…,m)无故障时的性能指标：
(8)

文献［4］在此基础上，推广到加权的性能指标：
(9)

并把多目标的最优化问题化为单目标的最优化问题。这里正数α1，α2，α3是加权因子，它们表征了3个轴向性能的重要程度，希望哪个轴向的性能好可通过适当调整加权因子来达到。
　　b) 假设ε是均值为零、方差为σ2Im×m的随机矢量时，文献［4］提出了如下性能指标：
(10)

式中　αi——加权因子；
　　G(i,i)——G的第i个对角元素。
　　c) 假设ε是均值为零的高斯随机向量，文献［3］提出了如下性能指标：
(11)

　　由此可见，以上所给的几个性能指标都是测量矩阵H的函数，因此我们可选定某个指标作为优化的性能指标。对不同的传感器配置可进行比较，从中选出最优的传感器配置，使得该性能指标为最小。
5　性能指标的比较
　　一般来说，通过选择不同的性能指标可得到不同的最佳结构配置，因此合理选择性能指标是很重要的。
　　定理2：当不考虑加权因子时，是一致的。
　　证明：注意到
MM′ =(H′H)－1=G(12)

　tr(MM′)=∑3i=1∑mj=1M2ij
而(13)

　　于是式(8)可以写成：
(14)

式(9)可以写成：
(15)

由此可见，式(9)与式(10)是一致的，并且当不考虑加权因子时，式(8)，(10)是一致的。
　　定理3：Fp1,Fp3 是一致的。
　　证明：由于H的每一行分别是m个测量轴的方向余弦，因此，
tr(G－1)=tr(H′H)=m(16)

记λ1，λ2，λ3分别是矩阵G－1的特征值，由于G－1是对称阵，因此存在正交阵P，使得：
PG－1P′=diag(λ1，λ2，λ3)(17)
从而，tr(G－1)=λ1+λ2+λ3=m(18)

　　此外，由式(17)不难验证：
(19)
Fp3=(λ1λ2λ3)-1／2(20)

　　不难证明，在优化条件式(18)下，得到Fp1，Fp3的优化结果都是：
λi=m／3，　i=1,2,3(21)

并且Fp1，Fp3的最小值分别是：

　　minFp3=(m／3)－3／2
由此可见，当不考虑加权因子时，以上介绍的几种性能指标优化条件是一致的。
　　定理4：性能指标式(11)最优的充要条件是：测量矩阵满足G－1=(m／3).I，也即H的各列的模都为m／3，各列之间相互正交。
　　证明：充分性显然。
　　必要性：由式(17)
G－1=P′.diag(λ1，λ2，λ3)P(22)

当系统结构配置在性能指标式(11)下为最优时，得到式(21)代入上式得证。
6　举　例
　　以5个传感器配置的余度系统为例，记ix,iy,iz表示x，y，z方向的单位矢量，ij(j=1,…,5)表示各传感器测量轴的单位矢量，对于5个传感器配置的余度系统，假设各测量轴是沿着z轴的圆锥的母线，并和3个坐标轴间的关系有：
ij.iz=cosα(j=1,…，5)
　　i1.ix=sinα
　　i2.ix=i5.ix=sinα.cosβ
　　i2.iy=-i5.iy=sinα.sinβ
　　i3.ix=i4.ix=-sinα.cos(β／2)
　　i3.iy=-i4.iy=sinα.sin(β／2)
　　于是，测量矩阵可以写成：

其中，文献［2］认为，从制造观点来看，参数β一般应是72°(360°／5)，因而，还另外提出了5个传感器测量轴之间的相互关系：
i1.i2=i2.i3=i3.i4=i4.i5=i5.i1(23)

　　关于α的设计，文献［2］利用下面的优化指标来给出有关α的最优设计值：
(24)

　　容易验证，β=72°可从条件式(23)以及H阵直接得到，而文献［2］给出的有关α的最优设计值满足：sin2α=2／3。下面将不考虑条件式(23)以及式(24)的优化指标，而只是从定理4的充分条件来验证这点。由H阵容易得到：
(25)

式中　a=sin2α.［1+2cos2β+2cos2(β／2)］；
　　　b=(ac-d2)／e；
　　　c=5cos2α；
　　　d=sinα.cosα.［1+2cosβ-2cos(β／2)］；
　　　e=2sin2α.［sin2β+sin2(β／2)］。
　　于是，可设计α,β，使得
d=0(26)
　　a=b=c(27)
由式(26)得，1+2cosβ-2cos(β／2)=0，从而得到：β=72°，满足a=b；再由式(27)得到：这与文献［2］给出的有关α的最优设计值是完全一致的。
7　结　论
　　对于捷联惯导系统，可采用冗余技术来提高惯性测量装置的测量精度，这时传感器的结构配置需要进行优化。本文归纳了现有的几种优化指标，并进行了比较。提出了一个适用于余度系统结构配置的、能够提供最佳测量的优化条件，该条件是容易实现的。
作者单位：金　宏　张洪钺(北京航空航天大学自动控制系，100083)
参考文献
　[1]　王珍熙. 可靠性、冗余及容错技术. 北京：航空工业出版社, 1991.
　[2]　Hirokimi S. Study on strapdown inertial navigation redundant sensor system.NAL TR-660, 1981-03.
　[3]　Harrison J V, Gai E G. Evaluating sensor orientations for navigation performance and failure detection. IEEE Trans. on Elect. Systems, 1977, AES-13(6):631～643
　[4]　陈杰，张洪铖，以光衢. 余度传感器系统中传感器配置结构和奇偶向量的最优化. 航空学报, 1993,11(3)
收稿日期：1998-03-04
