信息与控制
INFORMATION AND CONTROL
1999年 第28卷 第3期 Vol.28 No.3 1999




实际意义下n-D单边矩阵方程有解的充要条件
吕振肃　摆玉龙　年晓红
　　摘要：本文在讨论n-D矩阵方程求解条件的基础上，针对由Agathoklis等人提出的具有实际意义的n维（n-D）离散系统，给出了判定n-D矩阵方程是否有解的充要条件，并给出了判定系统是否具有实际意义稳定性的方法，以算例加以说明．
　　关键词：n-D系统，矩阵方程，实际意义
　　中图分类号：TP11　　　　　　文献标识码：A
NECESSARY AND SUFFICIENT SOLVABILITY CONDITIONS OF N-D
UNILATERAL MATRIX EQUATION IN PRACTICAL SENSE
LU Zhensu　BAI Yulong　NIAN Xiaohong
(Department of Electronics and Information Science, Lanzhou University, Lanzhou,730000)
　　Abstract　In the light of n-D discrete systems in the practical sense which was introduced by Agathoklis in 1983,we first discuss the solvable condition of n-D unilateral matrix equations．Simple and constructive necessary and sufficient solvability conditions are derived．A new method to determine the stability of a n-D discrete systems in practical sense is presented． All the obtained result is illustrated by a example of 2-D systems．
　　Key words　n-D systems，matrix equation，practical sense
　　1　引言
　　众所周知，讨论一个多输入-多输出(MIMO)系统的特征多项式配置和稳定性问题都可归结为在特定的多项式环上求解一定的单边矩阵方程，即
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(1)
式中，D(z1,z2,…zn)∈Rr×r[z1,z2,…,zn],N(z1,z2,…,zn)∈Rq×r[z1,…,zn],是由给定系统所定义的多项式矩阵，Φ是按照特征多项式配置问题和稳定性问题所构造的一个特定的稳定多项式矩阵．X,Y是待求的多项式矩阵．在一定条件下，稳定性问题也可归结为在一定的稳定有理函数环上求解贝佐特方程，即
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(2)
式中，D，N都是稳定的有理函数矩阵，I是单位矩阵．
　　尽管矩阵方程（1）在1-D情形下已有了很好的解法［1］，但它在n-D情形下的求解至今还未被广泛的研究．从抽象代数的观点来看，n-D多项式环已不是欧几里德环，因此基于欧几里德除法的矩阵初等变换的运算将不再适用．同时，在n-D多项式环上，单模阵也不能直接写为初等矩阵的乘积．因而，求解n-D矩阵方程一般应将n-D多项式环依照实际系统的特性做适当的处理后再进行求解．
　　文[2]中，将n维向量中的一个变量称作w,而其余的用v=(v1,v2,…,vn-1)表示，则多项式环R(v)[w]表示以w为独立变量而以v做为系数的一维多项式环．在这种假定下，欧几里德除法可直接应用于（1）式，类似于1-D情形可求解n-D矩阵方程．但这种处理方法的实际背景不甚明确．
　　考虑到许多实际系统其自身的特性，Agathoklis等人于1983年引入了具有实际意义的n-D离散系统的概念．本文在具有实际意义稳定性的条件下将n-D矩阵方程简化为n个1-D矩阵方程，从而在这种实际背景下，讨论n-D矩阵方程有解的充要条件，并给出一种判定系统是否具有实际意义稳定性的方法．
　　一些相关的符号按如下定义：
　　Z+：正整数的集合；
　　Zn+={(i1,i2,…,in)|i1,…,in∈Z+};
　　Z-n+={(i1,i2,…,in)|i1,…,in∈Z+,但它们中不多于一个能同时取无穷大}；
　　R[z1,z2,…zn]:系数为实数，关于z1,z2…zn的n-D多项式交换环；
　　
　　2　实际意义下的n-D矩阵方程
　　在许多实际情形下，如地震图象，电视图象处理中,一个n-D信号X(i1,i2,…,in)的独立变量i1,i2,…,in，除了其中一个变量，称ij，是时间变量，而其他通常是空间变量．在实际意义下，空间变量是有界的，只有时间变量是无界的．针对这种情况，文[3]中，引入了n-D离散系统实际意义下有界输入-有界输出（BIBO）稳定性定义，从而使传统BIBO稳定性定义在许多实际应用情形下的强限制性得以改善．
　　考虑一个由单输入u(i1,ii,…,in)和单输出y((i1,ii,…,in)以n-D卷积和描述的线性移不变系统
　　　　　　　(3)
式中h(i1,i2,…,in)是脉冲响应．利用相应的n-D Z变换，可得到n-D系统的传递函数为
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(4)
　　定义1　称以（3）式描述的n-D系统在实际意义下是（BIBO）稳定的，如果对每一个有限实数M>0，都存在有限实数L>0，使得若对所有的输入信号u(i1,i2,…,in),都有
．（在传统意义下是Zn+)　　　　　　　　　　(5)
则对所有的系统输出y(i1,i2,…,in)满足关系式，
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(6)
　　同传统意义下的BIBO稳定性定义相比，在实际意义下对于输入信号满足于(i1,,…,in)∈(Zn+-Z-n+)的情况不予考虑，从而使条件放宽，且更符合实际情形．同1-D情形类似，有如下判定定理．
　　引理1［3］　称一个以（4）式描述的n-D系统是实际BIBO稳定的，当且仅当
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(7)
而在传统意义下，有如下的BIBO稳定性判定定理，一个系统在传统意义下是BIBO稳定的，当且仅当
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(8)
　　相比较而言，条件（8）比条件（7）更复杂，更具限制性．
　　文[4]中，给出了代数结构{G，H，I，J}，其中H可以根据不同情形下的算子性质加以构造．本文中，我们加入实际意义的性质，构造如下的代数结构．
　　令G是n-D因果有理函数环，H是n-D实际稳定有理函数环，即

同时，令
显然有
　　用M（G）（或M（H））表示元在集合G（或H）上的一组矩阵，当一个矩阵M（H）满足是方阵且它的行列式属于I（或J），称其为G—单模阵（或H—单模阵）．
　　以上根据具有实际意义的n-D系统的特性，构造了n-D多项式环，使得在具有实际意义的多项式环上求解n-D矩阵方程成为可能．这样，n-D多项式矩阵方程就可简化为n个1-D矩阵方程，从而可以求解．一般n-D矩阵方程（1）在实际意义下的形式是：
　　　　　　(9)
若在（9）式两边同乘以Φ(zk)的逆矩阵，一般n-D矩阵方程则可转化为贝佐特方程．这样一来，贝佐特方程的有解性等价于一般n-D矩阵方程的有解性．
　　3　实际意义下n-D矩阵方程有解的充要条件
　　假定有一个系统的传递函数P∈M（G），即P是元在G上的m×l维矩阵．我们可以分解其为P=NRD-1R,其中NR,DR∈M(R[z1,…,zn])M(H),detDR∈I．
　　NR和DR的右互质性按如下定义：
　　定义2　对于一个右MFDNRD-1R，我们称NR和DR在H上右互质，且NRD-1R在H上是右互质MFD，当且仅当存在U，V∈M（H）使得贝佐特方程
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(10)
成立．相应的左互质定义可类似给出．这样，贝佐特方程（10）的有解性就可归结为NR，DR在H上是否右互质，即两种提法具有等价性．
　　考虑具有实际意义的n-D系统P=NRD-1R，定义如下矩阵:
　　　　　　　　　　　　　　(11)
　　根据1-D系统互质性判定理论，NR，DR在H上右互质存在的条件是矩阵F(0，…，zk,…,0)在闭环上是满秩的．为使此判断方法更易操作，令是表示由矩阵F(0,…,zk,…,0)的所有最大阶子式产生的理想，用表示理想的代数簇，即这些子式公共零点的集合，k=1,2,…,n．
　　定理1　矩阵方程（10）在实际意义下有解的充分必要条件是与闭环不相交，即
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(12)
　　证明　必要性．若存在一组有理分式矩阵使得贝佐特方程
f　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(13)
成立. 设的公分母为一多项式,显然有
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(14)
其中是多项式矩阵. 用表示多项式的理想，且
　　令S1(zk),S2(zk),…,Sβ(zk)为矩阵F(0,…,zk,…,0)的最大阶次为l的子矩阵， 其中,且s1(zk),…,sβ(zk)表示它们的行列式,则
　　先证代数簇是多项式s1,s2,…,sβ的簇，即
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(15)
从SM(zk),M=1,2,…,β的定义，显然存在常数矩阵UM,VM，有
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(16)
成立．两边前乘SM(zk)的伴随矩阵adjSM(zk)，满足
　　　　　　　　　　　　　　　　　　(17)
这表明对于M=1,2,…,β,SM包含在理想中，即
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(18)
易证，逆结论亦成立．即
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(19)
若矩阵方程(14)有解,用反证法.如果,z0k也是(14)式的一个零点,由柯西-比内特(Cachy-Binet)定理,即
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(20)
　　显然,则方程（14）无解，与假设矛盾，即得证必要性.

充分性．当理想中存在多项式q(zk)使得时，方程（10）有解．
令c=gcd(s1,s2,…,sβ)，且表示多项式si为如下，
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(21)
即
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(22)
　　由矩阵F(0,…,zk,…,0)在闭环上满秩，V(h1,…,hβ)是与闭环不相交的有限共轭对称点{ai‖ai|＞1,i=1,2,…,n)的集合．
　　因此，定义多项式
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(23)
　　多项式
　　由希尔伯特零点定理,对一些整数h,有．于是，我们假定q=dh. 最后，由理想的定义，存在多项式，有
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(24)
设　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(25)
　　即表明当满足时，矩阵方程（14）有解．　　　　　　　　　　　　　　证毕
　　根据定义2及定理1的证明，易得以下推论．
　　推论1　一个n-D系统P=NRD-1R∈M(G)是实际稳定的，当且仅当DR和NR在具有实际意义的多项式环H上是右互质的．
　　因此，对贝佐特方程（9）的有解性的判定可推广为一种判定一个n-D系统是否具有实际意义稳定性的方法．
　　4　算例
　　以上所提到的方法和具有实际意义的n-D系统的特性可由下列2-D系统的例子加以说明．
　　例　考虑一个以下列传递函数矩阵所描述的2-D多输入—多输出(BIBO)系统．

　　解　在多项式环R[z1,z2]上分解传递函数矩阵P为以下的因子互质MFD，

其中，

根据文中定义如下1-D矩阵，

显然由1-D系统的有关理论，可知有．同理也可以证明矩阵DR(0,z2)和NR(0,z2)在1-D多项式环R[z2]上是右互质的，即．依据定理1和推论1的观点，可知此传递函数描述的n-D系统是一个具有实际意义稳定性的系统．
　　5　结束语
　　针对由Agathoklis等人提出的具有实际意义的n-D离散系统，研究了n-D矩阵方程有解的充要条件，并给出了一种判定系统是否具有实际意义稳定性的方法．这些工作使得在有实际背景的前提下求解n-D矩阵方程成为可能，从而可以此为基础，利用代数方法来研究n-D离散系统．
作者简介：吕振肃，男，52岁，教授．研究领域为控制理论与应用，信息与信号处理等．
　　　　　摆玉龙，男，25岁，硕士．研究领域为n-D系统理论与应用．
作者单位：兰州大学电子与信息科学系　兰州　730000
参考文献
　1　Kucera V．Discrete Linear Control：the Polynomial Equation Approach．Wiley,Chichester， 1979
　2　Michael sebek．n-D Polynomial Matrix Equations．IEEE Trans．Autorm．Contr．,1988,33(5)：499～502
　3　 Agathoklis．P ，Bruton．L ．Practical-BIBO stability of n-dimensional discrete　System．IEE Proc．G．Electron．Circuits Syst,1983,6：236～242
　4　Desoer　C A,R Liu J．Murry and R．saeks．Feekback Systems Design：the Fractional Representation Approach to Analysis and Synthesis．IEEE Trans　Autorm Contr,1980,25：399～412
1998-08-12收稿
