导弹与航天运载技术
MISSILES AND SPACE VEHICLES
1999年 第2期　No.2 1999



空间飞行器柔性附件动力学建模方法研究
阎绍泽　黄铁球　吴德隆　范晋伟
　　摘要　论述了采用传统动力学建模方法建立空间飞行器柔性附件动力学方程时过早线性化的问题，揭示了这种方法建立动力学方程的缺陷，即失去了一些重要的刚柔耦合项。采用Kane方法建立动力学方程的一般公式，并确定了采用传统动力学方法建立动力学方程所失去的项。进一步探讨了基于构件小变形的空间飞行器柔性附件动力学的建模方法，并进行了仿真和实验研究，证明了理论分析的正确性。
　　主题词　航天器，柔性体，动力学，数学模型,线性化法。
Study on Dynamics Modeling of a Flexible Appendage 
of Spacecraft
Yan Shaoze
(Qinghua University,100084)
Huang Tieqiu　Wu Delong
(Beijing Institute of Astronautical Systems Engineering, 100076)
Fan Jinwei
(Beijing Polytechnic University, 100022) 
　　Abstract　The premature linearization in modeling dynamics of a spacecraft flexible appendage is discussed by using the conventional modeling method, and the method defects are demonstrated that some coupling terms between large overall motion and small deformation are lost. A general formulation is developed by using Kane′s method, and the missed terms are determined. Furthermore, dynamics modeling methods of flexible appendages for spacecraft based on small deformations are analyzed. The dynamic simulation and experimental study of a flexible beam are completed, and simulation results are verified by the experimental ones.
　　Key Words　Spacecraft，Flexible body,Dynamics, Mathematical model,Linearized method.
1　前　言
　　柔性附件动力学问题已成为人造卫星和宇宙飞船动力学分析中必不可少的重要环节。卫星天线、太阳能帆板的伸展长度与其自身相比可以大到几倍甚至几十倍，弹性变形的影响不可忽略。例如，1958年美国第1颗人造地球卫星探险者1号发射升空后，由于其鞭状天线伸展度大、柔度大，其振动引起了卫星能量耗散，造成卫星自旋运动不稳，导致了空间飞行任务的失败，究其原因是在原始设计时没有计及天线柔性的影响。在进行空间飞行器中柔性附件动力学建模时，由于问题的复杂性，促使人们时常在某个阶段进行线性化，但这种线性化常常带来缺陷。近几十年来，国内外许多学者对此进行了大量的研究［1～7］，建立了许多有效的建模方法，但并未彻底解决空间飞行器动力学中的刚柔耦合问题。对这个问题的深入研究，将为空间飞行器的动力学行为预示、姿态及振动控制提供理论依据，具有重要的理论和实际意义。本文对空间飞行器柔性附件动力学建模方法进行了系统分析，研究了传统动力学建模方法产生缺陷的原因，并探讨了解决办法。
2　过早线性化的缺陷分析
　　随着对空间飞行器动力学理论研究的深入与工程应用的发展，发现在分析柔性体的小变形振动时，若沿用传统动力学建模方法以及根据传统动力学建模方法开发的动力学分析软件，如：DICOS，NBOD2，ALLFLEX，TREETOPS等，在一定情况下将产生错误的结果［2］。这个问题引起了美国宇航部门、机械工程和力学界的极大重视，并在1987年美国NASA的JPL实验室举行的多体系统动力学会议上，成为主要议题［3］。为了揭示传统动力学方法建模的缺陷，研究一个带有小尺度变量和大尺度变量的质点系统。对于这样的系统，建立相对于小尺度变量的线性化动力学方程一般能够满足工程上的要求。设系统有μ个质点，N个自由度，取N个广义坐标q1，q2，…，qN，则有N个广义速率u1，u2，…，uN。假定前n (n＜N)个广义坐标和广义速率远远小于其余的广义坐标和广义速率，即为小尺度变量；其余的N-n个变量为大尺度变量。本文基于Kane方程，采用两种方式建立上述系统的动力学方程：一种是在求出偏速度以后，再对运动学参量线性化；另一种是先于偏速度计算就线性化，本文称之为过早线性化。将这两种方法得到的动力学方程进行比较，可以揭示过早线性化的动力学建模方法存在的缺陷。
　　基于Kane方法的质点系统动力学方程为
(1)

式中　Vir为在惯性坐标系质点i的偏速度，定义为Vi/ur；Ri表示作用在质点i的主动力；mi和ai分别为质点i的质量和加速度。
　　为了叙述方便，定义：不含有小尺度变量的运动学项为零阶项；含有一次小尺度变量的运动学参数项为一阶项。黑体字母代表矢量。符号“^”代表相应量的线性化形式；而“－”和“⌒”分别代表零阶项和一阶项。过早线性化得到的运动学参数项用“*”表示。
　　在求出偏速度以后，对和ai运动学参量线性化
(2a)

式中为不含有小尺度变量的偏速度项；为含有一次小尺度变量的偏速度项。
(2b)

式中　为与小尺度变量无关的主动力；为与一次小尺度变量有关的主动力项。
(2c)

式中　为不含有小尺度变量的加速度项；为含有一次小尺度变量的加速度项。
　　由式(1)和(2)，可得到准确的相对于小尺度变量线性化的动力学方程：
　　　　　　(3)
式中　第1项为不含有小尺度变量的零阶项；第2项为含有一次小尺度变量的一阶项。
　　下面由过早线性化动力学方法建立系统的动力学方程，即在计算偏速度之前，对变形广义坐标及其导数进行线性化。由于u1,u2,…，un与均是一阶小量项，则质点速度线性化表达形式为
(4)

式中　为不依赖于广义速率的质点速度的一部分。
　　由式(4)得到的偏速度为
(5)

　　式(5)中的前n项不同于正确线性化的式(2a)中结果，失踪了项n)。由于广义速率u1，u2，…，un为小尺度变量，而V⌒ir(r=1,2,…,n)是小尺度变量q1，q2，…，qn的线性函数，二者乘积为二阶小量项，质点速度线性化表达式中不会出现此项。因此，过早线性化引起与广义速率u1，u2，…，un有关的偏速度一阶项丢失。
　　可以证明过早线性化不会影响加速度和主动力的线性化表达，即
(6)
(7)
　　根据Kane方程：(8)

　　可推得过早线性化动力学方程：
(9a)

　　(9b)
　　比较式(9)与式(3)可以看出：
　　a) 过早线性化不会影响质点系统动力学方程中的零阶项；
　　b) 过早线性化不会影响对应于r=n+1,n+2,…，N等零阶变量的动力学方程；
　　c) 过早线性化影响包含小尺度变量的一阶项，将使对应于一阶变量r=1,2，…,n的小尺度变量的动力学方程失去下面的一阶项：
(10)

　　从对上述质点系统动力学建模分析可以看出：过早线性化的动力学建模方法不能准确地包含有小尺度变量的一阶项，建立的动力学方程不能正确表达质点系统的动力学行为。为了避免过早线性化，在建立动力学方程时，速度表达中保留到小尺度变量的二阶项是适当的；另一方面，如果已经采用过早线性化动力学建模方法，可以采取加入补偿项的办法提高模型精度，如方程(9)可以加入失去的部分即方程(10)进行校正。
3　柔性附件动力学建模分析
　　本文对空间飞行器中应用较普遍的梁式柔性附件动力学建模进行分析，揭示传统动力学建模方法用于柔性体动力学建模时存在的问题。图1为随主飞行器作旋转运动的柔性附件。假定柔性附件在空间飞行器带动下，绕通过O点沿直轴作旋转运动。Oxy为体坐标系，x轴与柔性附件未变形时的轴线一致，X轴与柔性附件位于初始状态时的轴重合，θ(t)为柔性附件整体转动角度。假定柔性附件为弹性小变形，且其纵向振动是横向振动的高阶小量，根据Euler-Bernoulli梁理论，应用模态展开法描述柔性体的相对弹性变形u：
u(x,t)=Nj(x)qj(t)(11)

式中　Nj(x)为第j阶模态函数或形函数;qj(t)为模态坐标。(注：文中采用“和式惯例”，即对式中重复序号求和)


图1　柔性旋转梁分析简图
　　柔性附件上任一点P在动坐标系b1，b2中的位置矢量RP：
Rp=xb1+ub2(12)

　　应用Lagrange方程，并忽略弹性变形高阶小量，可得到动力学方程：
(13)

式中　

τ(t)为作用在铰关节处的驱动力矩；C为阻尼矩阵；ρ为柔性附件材料密度；l为附件总长；EI为结构抗弯刚度。
　　式(13)清楚地表明，用传统动力学建模方法获得的旋转柔性附件动力学方程，不管整体运动如何变化，运动诱发刚度阵只产生使柔性附件刚度下降的项，实践证明这一结果与客观事实不符合，如作旋转运动的柔索，旋转运动使其刚度增强。由此可以推断采用上述方法建立运动的柔性附件动力学模型一定遗失了一些起重要作用的项。
　　本文采用几何变形约束法［2］，建立柔性附件动力学模型。实际上，柔性附件变形后产生横向位移，此位移又引起附件的轴向变化，即存在变形约束。计及变形约束的柔性附件动力学模型分析简图如图2所示。柔性附件变形后P到O点的弧长可采用弧微分得到：
