导弹与航天运载技术
MISSILES AND SPACE VEHICLES
1999年 第3期　No.3 1999



某型高度表的可靠性增长分析
周源泉　郭建英
　　摘要　对某型高度表的综合环境下的可靠性增长试验的故障信息，用多台不同步截尾的AMSAA模型及多台同步AMSAA-BISE模型进行了详细的统计分析，结果表明，产品有显著的可靠性增长，故障数据可用AMSAA模型跟踪，其平均故障间隔时间(MTBF)的置信下限超过了总体部门下达的指标。
　　主题词　高度表，可靠性增长试验，可靠性分析，+AMSAA-BISE模型。
Reliability Growth Analysis of a Type of Altimeter
Zhou Yuanquan
(Beijing Institute of Strength ＆ Environmental Engineering,Beijing,100076)
Guo Jianying
(Harbin University of Science ＆ Technology, Harbin,150080)
　　Abstract　Using multi-system nonsynchronous truncated AMSAA model and multi-system synchronous truncated AMSAA-BISE model, the failure data of reliability growth testing in combined environment for a type of altimeter are analysed in detail. The results indicate that the product has significant reliability growth, the failure data can be tracked by AMSAA model, and the lower confidence limits of MTBF for the altimeter exceed the desired value given by the overall department.
　　Key　Words　Altimeter,Reliablity growth test,Reliablity analysis，+AMSAA-BISE model.
1　引　言
　　某型高度表是某大型复杂系统的关键测控部件，在研制初期，其故障严重影响了系统的可靠性。为了提高系统的可靠性，决定对该高度表进行综合环境可靠性增长试验。
　　总体部门对该高度表下达的可靠性指标为，在置信水平γ=0.80时，要求其MTBF的置信下限不小于300 h。
　　 为了避免单台产品试验的随机性及加快可靠性增长的进程，采取两台同型高度表作同步投试、同步改进(发现B型故障后，针对故障模式，两个高度表于同一累积试验时间作同步工程与设计纠正)的不同步截尾的可靠性增长试验，其试验结果列于表1。
表1　高度表可靠性增长试验的故障数据

iniMiJi/htij/h
1661 49425,82,246,537,808,1 003
2331 52936,253,768

　　表中ni是第i台高度表的故障次数，参数Mi是与ni及截尾方式有关的量：

　　Ji为第i台的截尾的累积试验时间；tij是第i台的第j次故障的累计试验时间。
　　下面对试验结果进行分析。
2　两台高度表故障数据的比较
　　本节先检验两台高度表有无可靠性增长。再检验它们是否可用AMSAA模型(文献［1］将它称为幂律模型，有的文献称为Crow模型)拟合。在得到肯定后，再检验两台高度表的故障数据有无显著差异，即是否可认为属同型系统。
2.1　两台高度表的增长检验与拟合优度检验
2.1.1　增长检验
　　据文献［1］计算第i台的Laplace检验统计量：

　　据表1，可算得：μ1=-1.685 9，μ2=-1.617 4，查Laplace检验统计量的临界表(见文献［4］的260页)，可得：M1=6,α1=0.10的μ1,α1/2=μ1，0.05=-1.649 4,而M2=3,α2=0.15的μ2，α2/2=μ2，0.075=-1.467 4。因
μ1＜μ1,0.05,　μ2＜μ2,0.075
故以显著性水平α1/2=0.05,表明第1台有显著的可靠性正增长。以显著性水平α2/2=0.075，表明第2台有显著的可靠性正增长。
2.1.2　拟合优度检验
　　按文献［1］，计算第i台(i=1,2)的拟合优度检验统计量：

式中　
　　据表1，可算得：
　　查的临界值表(见文献［4］的261页)，可得：M1=6,α1=0.2的及M2=3,α2=0.2的因故第1台、第2台的高度表的故障数据分别服从幂律过程(有的文献称为Weibull过程)，则

式中　Ni(t)是第i台高度表在时间区间(0，t］内的故障次数。ai，bi分别是第i台高度表的尺度参数与形状参数。
　　据文献［1］，可算得αi,bi的点估计分别为

　　可见间，间都有一定的差距。问题是，在统计上，第1，2台有无显著差异，即第1，2台可否看成同型系统。这需要检验b1=b2，a1=a2是否成立。下面分步进行讨论。
2.2　b1=b2的检验
　　检验假设
　　在给定N1(J1)=n1的条件下，有　　
　　同样，在给定N2(J2)=n2的条件下，有　　
若b1=b2,则　　　
当F*的观测值满足　F2n1，2n2;α/2≤F≤F2n1，2n2;1-α/2时，则以显著性水平α接收H0：b1=b2=b,否则，拒绝H0。
　　取α=0.10,查F分布分位数表，有：
　　F2n1，2n2;0.95=F12,6;0.95=3.999 9
　　
因F2n1，2n2;0.05＜F=0.868 5＜F2n1，2n2;0.95，故接收H0：b1=b2=b。
2.3　a1=a2=a的检验
　　这里，检验的前提条件取b1=b2=b。检验假设
　　为了便于分析计算，这里讨论两台作同步截尾的情况，即用J=1 494 h前的故障数据，
因　　　
由于N1(J),N2(J)相互独立，故

式中　
　　因二项式分布参数R的区间估计公式为
故当式


成立时，以显著性水平α表明，假设成立,否则接收H′1。
　　取α=0.10,有：

故接收
　　综上可以认为两台高度表属同型系统。
3　用多台同型系统不同步截尾的AMSAA模型作分析
3.1　增长检验
　　增长检验根据故障数据确定产品在试验过程中产品有无可靠性增长。增长检验方法分两类，一类是图解法，另一类是分析法。
3.1.1　图解法
　　文献［2］中提出了图解法。该法需绘制累积故障数——累积试验时间图。此图的横坐标为线性尺度的累积试验时间，纵坐标为线性尺度的累积故障数，将所有故障数据点在图上，联成光滑曲线，即可绘制完毕。
　　对多台同步投试同步改进的情况，要将诸台的故障时间tij从小到大排序得：
t（1）≤t（2）≤…≤t（n）
这里是总故障次数，K是投试台数，此时，故障点为(t(l),l)，(l=1,2,…，n)。对这里的情况有

l123456789
t（l）2536822462535377688081 003


图1　高度表的累积故障数-累积试验时间
　　据此，可作出图1。图上的曲线上凸，这说明相邻故障的时间间隔增大，表明产品有可靠性正增长。
　　图解法的优点是直观简单，使用方便，但在故障次数较少时，可能导致错误或模棱两可的结论。而采用如下的分析法，就可避免图解法的这些缺点。
3.1.2　分析法
　　分析法中常用两种检验，一是Laplace检验，另一种是Crow检验。
　　对多台同型系统同步投试同步改进不同步截尾的情况，修正的Laplace检验统计量μ为［3］

式中　
　　可算得μ=-2.310 3。查Laplace检验统计量μ的临界值表(见文献［4］的260页)，可得出M=9,　α=0.02的临界值 μα/2=μ0.01=-2.293 8,因μ＜μ0.01，故以显著性水平α/2=0.01表明，产品有十分显著的可靠性正增长。
　　Crow检验的前提条件是，产品的故障数据可用AMSAA模型拟合。对这里的情况，此条件是成立的(详见第3.3节)。
　　修正的Crow检验统计量为［3］

式中　是AMSAA模型的形状参数b的条件无偏估计：

可算得：=0.468 673 7,χ2=34.138 892。
　　查χ2分布的分位数表，可得χ2的临界值为
　　因故以显著性水平α/2=0.02表明，产品有显著的可靠性正增长。
　　这两种检验中，只要有一种表明有显著的可靠性正增长，即可对产品转入可靠性增长分析。
3.2　模型参数与产品MTBF的极大似然估计
　　对这里的情况，AMSAA模型的形状参数b的极大似然估计由下式确定：

由上式求，需用迭代方法，这里可用确保迭代收敛的Brent迭代方法。
　　这里可算得，此方程的迭代误差为Y3=1.81×10-9,而=0.526 167 6。
　　尺度参数a的极大似然估计为这里=0.095 569 26。
　　对时刻产品MTBF M(t)的极大似然估计为

据此，有：
3.3　模型拟合优度检验
　　拟合优度检验也有两类办法，一类是图解法，另一类是分析法。
　　图解法中，文献［1］推荐了故障的期望与观测的累积试验时间散布图。其横坐标是故障的观测累积试验时间tij,纵坐标是故障的期望累积试验时间的估计值对多台的情况，横纵坐标分别为t(l)及l=1,2,…，n。E(t（l）)的一阶近似为［1］
E(t(l))≈［l/(Ka)］1/b,l=1,2,…，n
　　其估计量为　　　　　　　　
注意，这里的是取截尾时间为t（n）时，a,b的估计量

对t（n）=1 003 h,可算得：
　　据可算得如下的表2。
表2　观测与期望故障的累积试验时间

l123456789
t(l)2536822462535377688081 003
14.956.2122.2212.0325.2461.2619.7800.31 003

　　在相同的线性尺度坐标纸上，据表2的数据可作出期望与观测的故障累积试验时间散布图图2。由图2可知，诸点在同坐标轴成45°角的直线附近摆动，故可认为故障数据能用AMSAA模型拟合。
　　另一种图解法，是作可靠性增长特性直线图，此图是在双对数尺度坐标纸上，绘上各故障点(t（l）,N(t（l）），l=1,2,…，n,并作出增长特性直线：

在双对数纸即作出
　　若各故障点落在增长特性直线附近，则可认为故障数据可用AMSAA模型拟合。
　　这里可算得：及两点，由此即可联成增长特性直线，如图3所示。


图2　故障的期望与观测试验时间散布图3　某型高度表的可靠性增长特性直线

　　由图3可知，故障数据可用AMSAA模型拟合。
　　第2种图解法有一个优点，即拟合不佳时，可由图上看出，可能是由于MTBF出现跳跃或增长曲线斜率改变等。如果这样，可将故障数据分段处理，详见文献［6］。
　　图解法直观，能提供拟合不佳的原因，但据图认为拟合是否好是一种主观测度，下述的分析法能客观定量地判断拟合优度。
　　分析法是应用Cramer-Von Mises统计量的检验方法，在多台不同步截尾的情况下，修正的Cramer-Von Mises检验统计量为［7］

式中　x(k),k=1,2,…,M是(tij/Ji)从小到大排序的结果。
　　对这里的情况，可算得：
　　查Cramer-Von Mises检验统计量的临界值表(见文献［4］的261页)可得：M=9,α=0.2的
　　因故可用AMSAA模型拟合高度表的故障数据。
　　但是，十分可惜，迄今为止，尚未有人给出多台不同步截尾下，MTBF的区间估计公式与方法，故还要另想它法，以给 出系统MTBF的置信下限，这可以求助于多台同型系统同步投试同步改进同步截尾的AMSAA-BISE模型。
4　用AMSAA-BISE模型进行分析
　　为了利用多台同型系统同步投试同步改进同步截尾的AMSAA-BISE模型［8］，只好牺牲第2台的最后的35 h的无故障信息。这样，同步截尾时间为J=1 494 h。
　　下面按步进行分析。
4.1　增长检验
4.1.1　Laplace检验
　　对AMSAA-BISE模型，Laplace检验统计量为

这里可算得：μ=-2.291 6。
　　查μ的临界值表，可得：μα/2=μ0.025=-1.950 6。
　　因μ＜μ0.025，故以显著性水平α/2=0.025表明，高度表有显著的可靠性正增长。
4.1.2　Crow检验
　　同样，其前提条件为故障数据可用AMSAA模型拟合(这在下述的4.3节中讨论)。
　　计算Crow检验统计量：

式中　是形状参数b的无偏估计(这在下述的4.2中讨论)，这里可算得：χ2=33.999 95
　　查χ2分布的分位数表，得：
　　因故以显著性水平α/2=0.02表明，产品有显著的可靠性正增长。
　　图解法同图1。综上，应继续作可靠性增长分析。
4.2　模型参数与产品MTBF的点估计
　　形状参数b的无偏估计为

尺度参数a的点估计为

当t≤J时，产品在t时刻的MTBF记为M(t)，其点估计为

据此，可算得：
　　为了对极大似然估计与无偏估计进行比较，在图4上用双对数尺度坐标纸绘出了直线。两者因M不太小，故比较接近，特别地在t=1 494 h时，=0.90。


图4　MTBF的极大似然估计与无偏估计
4.3　拟合优度检验
　　对AMSAA-BISE模型，其Cramer-Von Mises检验统计量为

据此可算得：查的临界值表，得因故可用AMSAA-BISE模型拟合高度表的故障数据。图解法同图2，图3。结论也相同，不赘述。
4.4　b的置信上限bv
　　取置信水平γ=0.90,b的置信上限为

据此，可算得bv=0.764 395 8。
4.5　M(J)的置信下限
　　在取置信水平为γ′时，M(J)的非随机化精确置信下限为

区间估计系数Π1(n,γ′)是n,γ′的函数，可查文献［4］的262～263页的表得到，表中的双边置信水平γ与这里的单边置信水平γ′，有关系γ=2γ′-1。
　　事实上，非随机化精确置信下限ML(J)满足下式
P{M(J)≥ML(J)}≥γ′
因此，非随机化精确置信下限是不精确的，它偏保守，只有随机化精确置信下限M′L(J)才是精确的，它满足
P{M(J)≥M′L(J)}=γ′
　　且M′L（J）=Π′1(n,γ′,u).(J)
这里的区间估计系数Π′1(n,γ′,u)是n,γ′与区间［0,1］上的均匀分布随机变量u的函数，按照N.R.Mann等［9］建议，取u=0.5，来计算系数Π′1。Π′1可在文献［4］的264～265页查到。　　查Π1及Π′1的数表，可得：n=9,γ′=0.8的Π1=0.569，Π′1=0.624。
故，ML(J)=401.4 h,M′L（J）=440.2 h,均超过了总体部门下达的指标。
5　结　论
　　a) 检验结果表明，两台高度表属同型系统。
　　b) 增长检验结果表明，产品有显著的可靠性正增长，说明试验过程中所采取的改进措施是正确有效的。
　　c) 试验取得了完整的故障信息，此故障信息可用AMSAA-BISE模型拟合，据此信息评出的产品的MTBF置信下限为总体部门下达指标的147%，此可靠性增长试验圆满成功。
　　d) 美国的数据［10］指出，寿命型产品的增长率m的范围为0.23～0.53，此高度表的增长率m的无偏估计说明此增长率是相当高的。这一方面指明此高度表在试验中可靠性增长循环回路运转正常，速度较快。另一方面也反映了该高度表在增长试验前的设计、工艺的成熟性尚不够，这包括设计、装配的标准化程度，各低装配级的筛选、老炼、预试验尚欠不足。这对设计师来说颇有参考价值。
本文属国家自然科学基金资助项目（编号69774034）
作者单位：周源泉(北京强度环境研究所，北京，100076)
　　　　　郭建英(哈尔滨理工大学，哈尔滨，150080)
参考文献
　[1]　Reliability growth——statistical test and estimation methods.IEC 1164,1995.
　[2]　童询洲等.可靠性和有效性评审程序手册.北京：宇航出版社，1985.
　[3]　周源泉.关于趋势检验的一点注记.质量与可靠性，1997(6)：32～35
　[4]　周源泉.质量可靠性增长与评定方法.北京：北京航空航天大学出版社，1997.
　[5]　Crow L H.AD-A020296，1975.
　[6]　郭建英，周源泉.可靠性增长突变点辨识与MIL-HDBK-189.质量与可靠性，1998(1)：30～32.
　[7]　周源泉.关于AMSAA模型拟合优度检验的注.质量与可靠性，1997(4)：25～26
　[8]　周源泉，翁朝曦.可靠性增长.北京：科学出版社，1992.
　[9]　Mann N R, Schafer R E, Singpurwalla N D. Methods for statistical analysis of reliability and life data. Wiley,1974.
　[10]　Benton A W, Crow L H. Integrated reliability growth testing. 1989 Proc. Annual Reliability ＆　Maintainality Symposium,1989:160～166
收稿日期：1998-07-01
