航空动力学报
JOURNAL OF AEROSPACE POWER
1998年  第13卷  第1期科技期刊

一种新型多维通量函数在求解平面叶栅跨音速流动的应用

清华大学 么石磊**   王保国 沈孟育
【摘要】  采用一种改进的Roe格式对平面叶栅的无粘流动进行了数值模拟，并与
Roe格式的计算结果进行了比较。采用四阶Runge-Kutta时间差分格式，空间三阶有
限体积法。网格生成采用贴体网格近壁面修正的方法。计算结果表明，该格式在减
少格式对网格的依赖性，抑制数值粘性方面具有明显的作用。
主题词：  多维分析  平面叶栅  跨音速流动
分类号：  O354.2

１  引  言

    近年来，在跨音速叶栅流动的数值模拟中，建立在求近似黎曼解基础上Roe格
式在计算中得到了成功的应用。但这种格式是以一维黎曼问题为基础建立的，在一
维计算中它具有高效、精确等优点；在二维或三维问题中，当格式精度为一阶或二
阶时，其对网格的依赖性明显加强［1］。过去几年里，有许多理论和数值研究试图
改善这种格式对网格的依赖。一种方法是适应性网格方法，通过调节当地网格，特
别是对象激波等间断处的网格进行调整，使网格法方向与主导波的传播方向一致。
这种方法在间断处能获得较精确的解，但是网格调整的效率可能是该方法的一个关
键问题，而且目前尚未弄清在光滑区域如何调整网格。第二种方法是用高阶数据重
构(HOR)方法减少低精度格式所造成的数值格式耗散。但数值分析［2］表明该方法最
高只能达到二阶精度，而且有计算结果表明［3］该方法对网格的依赖性仍然很强。第
三种方法是建立在更符合Euler方程物理特征分析基础上的特征波分裂方法。Rotated
迎风格式就是其中最为有效的一种，它将特征波分解成几部分，每部分都有各自的
传播方向和振幅。数值模拟表明［4］，该方法对减少对网格的依赖和抑制数值粘性
有着明显的效果。跨音速叶栅内部流动复杂，计算单元界面的特征波传播方向难于
判断。本文采用一种改进的Roe格式对平面叶栅跨音速流动的粘性和无粘流场进行
了数值模拟，取得了令人满意的结果。该方法较容易推广到三维情况。

２  支配方程与通量函数的构造

    二维无量纲Navier-Stokes方程可以表示为：

U/τ+F/x+G/y=Fv/x+Gv/y                   (1)

在有限体积格式中，上述方程的离散形式为：

                       (2)

    Roe格式中，采用Roe平均来线化Jacobian矩阵C=Φ／U，每个计算单元界
面的通量可由下式求得：

                              (3)

式中，Rk为特征向量沿计算单元界面外法线方向的分量，Ωk为特征向量的振幅(具体
表达式见文献［5］)，特征值：λ1=qg+a，λ2=qg-a，λ3=qg，λ4=qg为特征波的传
播速度沿界面外法线的各速度分量，下标g表示沿网格外法线方向；λ1和λ2为声波的
传播速度λ3为剪切波的传播速度，λ4为熵波的传播速度。

图1 特征值分解示意图
    在一维计算中，特征波的传播方向与计算单元界面的外法线方向一致(或反向)，
这种特征波的分解方式符合Euler方程的物理特征。但是，在二维或三维的流场计算
中，特征波的传播方向是空间任意方向的，未必与界面的外法向一致，这种特征波分
解方式不满足Euler方程的物理特征。为此采用下面的特征波分解方法。

    特征波在单元界面的传播方向可近似视为速度差分方向(如图1)：

(θd)m+1/2=tan-1［(vm+1-vm)/(um+1-um)］

式中，下标m代表i或j。

    现在，我们以θd方向作为特征波分解的方向，这样，与θd垂直的速度分量vL与vR
相等，这符合波前后切向速度分量相等的规律，从而使该格式更符合双曲型方程特征波
传播的物理意义。可惜，数值实验表明，这种特征波分解方式对θd非常敏感。θd微小
的变化能产生非线性反馈，从而引起θd更大的变化，使得计算不收敛。在实际计算中，
对于定常流场，一种消除反馈的有效方法是在一定的时间内冻结θd，取为θd′直到计
算收敛到某一值，再改变θd，重复上述做法，直到最后收敛。既然θd′并不是完全意
义上的特征波传播方向，那么至少需要一附加特征向量来消除θd′与θd之间的偏差。
我们取一沿θd′传播的附加剪切波，其特征向量为：

R5＝［0,-asinθd′，acosθd′，a(-usinθd′+vcosθd′)］T          (4)

其余特征向量形式不变，只是用θd′取代θd。

振幅相应为：Ω＝(△p/2a2)+β(ρ/2a)(△ucosθd′+△vsinθd′)
                (△p/2a2)-β(ρ/2a)(△ucosθd′+△vsinθd′)
                (β-1)(ρ/a)(△ucosθd′+△vsinθd′)
                (1/a2)(a2△ρ-△p)
                (ρ/a)(-△ucosθd′+△vsinθd′)                 (5)

这样，由式(3)即可求通量函数，进而用
式(2)求得Un+1i,j。

    在处理固体无渗透壁面边界条件时，我们采用事后修正边界处理的方法，即：

               (6)

式中，qEuleri代表由内点格式得到物理量的值，qExacti代表由边界条件及特
征关系得到的物理量的值，(x，y)为壁面单位法向量。

    在进行粘性流动数值模拟时，为了方便地处理无滑移边界条件，我们对近壁面
网格进行修正，使η网格线严格与壁面垂直。其它方面的处理可参阅文献［6］。

３  算例与计算结果

    算例1：对带有解析解的Hobson叶栅进行了无粘流动的数值模拟，图2是无粘
流场的等熵曲线图，熵值以p/ργ定义，每两条等值线的值相差10-3。由对比可
以看出，用改进的Roe格式计算所得到的流场的等熵线明显少于用Roe格式计算得
到流场的等熵线，这说明改进的Roe格式对数值粘性具有明显的抑制作用，这对
计算叶栅流动损失是非常有利的；图3为采用三阶Roe格式和改进的二阶Roe格式
计算得到的壁面速度系数曲线与解析解的对比，由此可以看出，改进的Roe格式
所得的结果更接近于解析解。


图2 Hobson平面叶栅计算通道内等熵分布
                      
图3  Hobson叶栅表面速度系数曲线 图4   某涡轮叶栅表面压力系数分布

    算例2：对某涡轮平面叶栅进行了粘性和无粘流动的数值模拟，并与实验结果
进行了比较。图4为壁面无量纲压力分布曲张，粘性和无粘性流动计算结果都表明
改进的Roe格式比Roe更接近实验值，在激波捕捉方面也优于Roe格式。图5为等熵
曲线图，得到了与上一算例相类似的结果。另外，在粘性计算中，由于进行了近
壁面修正，网格为S型，Roe格式在计算的初期出现振荡，而改进的Roe格式则没有
出现这种情况，所以，改进的Roe格式的CFL数要比Roe格式所取的大一些。这说明
改进的Roe格式对于网格的依赖要明显的弱于Roe格式。


图5 某平面叶栅计算通道内等熵分布

4 结 论

    计算结果表明，改进的Roe格式具有抑制数值粘性和减少网格依赖的优点。由
于格式本身符合Euler方程的物理特性，该格式在成功分辨激波位置的同时，对剪
切流动的模拟也优于一般的Roe格式。这些性质对叶栅流动的损失预估，进而进行
叶轮机械的设计是非常必要的。尽管该格式还有待于进一步完善，可以想见，在复
杂跨音速叶栅粘性流动计算中，该格式及其设计思想会越来越受到重视。

**男  24岁  博士  北京清华大学工程力学系博五班   100084
参考文献
1Zhang X D.Grid Influence on Upwind Schemes for the Euler and Navier-Stokes 
Equations.AIAA Journal,1996,34(4):
2Vankeirsbilck P.Application of Solution Adaptive Meshes and Multigrid Methods 
for the Computation of Viscous Compressible Flows.Von Karman Inst.,VKI 
Contract Rept.,Rhode Saint Genese,Belgium,1991
3Aftosmis M,Gaitonde D,et al.On the Accuracy,Stability and Monotonicity of 
Various Reconstruction Algorithms for Unstructred Meshes.AIAA Paper 94-0415,1994
4Christopher L Rumsey,Bram Van Leer,et al.A Multidimensional Flux function with 
Applications to the Euler and Navier-Stokes Equations.Journal of Computational Physics,1993,105
5Roe R L.Approximate Riemann solvers,Parameter Vectors,and Difference Schemes.
Journal of Computational Physics,1981,43:357-372
6王保国，沈孟育．高速粘性内流的高分辨率、高精度迎风型杂交格式．空气动
力学报，1995，13(4)：365-373

1996年12月收稿；1997年5月收到修改稿。

（责任编辑  魏星禄）
